Relación del movimiento browniano con la ecuación de Helmholtz

Question

se pueden obtener soluciones a la Ecuación de Laplace $$\Delta\psi(x) = 0$$

o incluso para el Ecuación de Poisson $\Delta\psi(x)=\varphi(x)$ en un Problema de valor límite de Dirichlet utilizando un enfoque de paseo aleatorio, véase, por ejemplo Introducción al movimiento browniano .

Ahora bien, ya este fascinante concepto no está realmente claro para mí. Sin embargo, valdría la pena entrar en detalles si también existe tal conexión con el Ecuación de Helmholtz $$\Delta\psi(x) +k^2\psi(x)= 0$$

De ahí mi pregunta:

¿Podemos utilizar algún paseo aleatorio para calcular numéricamente las soluciones de la ecuación de Helmholtz?

También sería interesante saber si esto sigue siendo cierto para sistemas abiertos donde las condiciones de contorno son diferentes a las del caso Dirichlet y para las que $k$ es ahora una función constante en el dominio.
Gracias de antemano

Robert

Answer 1

No parece que nadie tenga una respuesta más completa, así que mejor resumo lo que he dicho en los comentarios. La técnica a la que se refiere el PO es una aplicación de la Fórmula de Feynman-Kac .

De hecho, esta técnica se ha aplicado a la resolución de la ecuación de Helmholtz, como revelará una búsqueda en Google:

• Soluciones probabilísticas de la ecuación de Helmholtz

• Enfoque de paseo aleatorio para la propagación de ondas en cuñas y conos

Answer 2

La forma general para el generador infinitesimal de una difusión continua en $\mathbb{R}^n$ es $$Af(x) = \frac12\sum_{ij}a_{ij}\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_ib_i\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}-cf(x).\qquad{\rm(1)}$$ Aquí, $a_{ij}$ es una matriz nxn positiva y simétrica, $b_i$ es un vector y $c$ es un escalar no negativo, con los coeficientes $a,b,c$ funciones del puesto $x$ . Se dice que estos operadores son operadores diferenciales de segundo orden semielípticos . El caso con $c=0$ es el más común, al ser el generador de un proceso de Markov (o semigrupo). Sin embargo, el $c > 0$ se da el caso, y es entonces un generador de un semigrupo submarkoviano.

Los coeficientes $a,b,c$ puede entenderse de la siguiente manera: $a$ da la matriz de covarianza del movimiento en pequeños intervalos de tiempo (es decir, el nivel de ruido). $b$ da la media en pequeños intervalos de tiempo (la deriva) y $c$ es la velocidad a la que se "mata" el proceso. Para ser precisos, un proceso $X_t$ puede modelarse formalmente añadiendo un estado adicional $\it\Delta$ llamado el cementerio . Así, representamos el espacio de estados para la difusión matada como $\mathbb{R}^n\cup\{{\it\Delta}\}$ . En un pequeño intervalo de tiempo $\delta t$ el proceso tiene una probabilidad $c\delta t$ de ser asesinado, en cuyo caso salta al cementerio, y se queda allí. Así que, $X_t={\it\Delta}$ para todos $t\ge\tau$ con $\tau$ siendo el momento (aleatorio) en que se mata el proceso. La terminología que utilizo aquí está tomada de Revuz & Yor (Martingales continuos y movimiento browniano) y variará según los distintos autores.

En fin, volviendo a las EDP. Supongamos que queremos resolver la EDP $A\psi(x)=0$ en un dominio abierto $U\subseteq\mathbb{R}^n$ con la condición de límite $\psi(x)=\psi_0(x)$ para $x$ en el límite de $U$ ( $\partial U$ , digamos). Puedes hacer lo siguiente. Simular el proceso $X_t$ con la condición inicial $X_0=x$ . Espera hasta la primera vez $T$ en el que llega al límite y, cuando esto ocurre (si el proceso no se mata antes. es decir, $T < \tau$ ), toma el valor esperado. $$\psi(x)=\mathbb{E}_x\left[\psi_0(X_T)1_{\{T < \tau\}}\right].\qquad\qquad{\rm(2)}$$ Entonces $\psi$ satisface la EDP $A\psi=0$ .

Todo esto es muy general. Volviendo a la ecuación de Helmholtz, podemos dejar que $a_{ij}$ sea la matriz identidad y $b_i=0$ y $c$ es una constante. En ese caso nuestro generador se convierte en $A\psi=\frac12\Delta\psi-c\psi$ . [ Editar: Esto no es exactamente lo mismo que la ecuación de Helmholtz, que tiene $c=-k^2$ porque aquí tenemos $c > 0$ . Hay una diferencia de signos que cambia el comportamiento de las soluciones. Ver más abajo] El proceso entonces es el siguiente: ejecutar un movimiento browniano partiendo de $x$ hasta la primera vez $T$ llega a la frontera. Decidir si no se ha matado, que tiene probabilidad $e^{-cT}$ con la condición de $T$ . Si no lo ha hecho, tome el valor $\psi_0(X_T)$ . Por último, tome la media de este proceso (por ejemplo, utilizando Monte Carlo). Sin embargo, hay un problema práctico aquí. Desechar todas las trayectorias en las que el proceso muere es un poco derrochador, así que simplemente se multiplicaría por la probabilidad de no morir en cada trayectoria, en lugar de descartarlas realmente. $$\psi(x)=\mathbb{E}_x\left[\psi_0(X_T)e^{-cT}\right].\qquad\qquad{\rm(3)}$$

Incluso podemos ir al grano y resolver $A\psi(x)=\varphi(x)$ para un general $x$ -y el término de origen $\varphi$ , $$\begin{align} \psi(x)&=\mathbb{E}_x\left[1_{\{T<\tau\}}\psi_0(X_T)-\int_0^{T\wedge\tau}\varphi(X_t)\,dt\right]\\ &=\mathbb{E}_x\left[e^{-\int_0^Tc(\hat X_s)\,ds}\psi(\hat X_T)-\int_0^Te^{-\int_0^tc(\hat X_s)\,ds}\varphi(\hat X_t)\,dt\right]. \end{align}\qquad{\rm(4)}$$ Aquí, $X$ es el proceso muerto a una tasa (dependiente del estado) $c$ y estoy usando $\hat X$ para el proceso sin muerte, lo que requiere multiplicar por las probabilidades de supervivencia $e^{-\int c(\hat X_s)\,ds}$ en su lugar.

Otra área en la que tiene un ' $-cf$ El término de la EDP que gobierna las difusiones está en las finanzas, y se produce de dos maneras diferentes, pero estrechamente relacionadas. Los precios de los activos financieros se modelan con frecuencia como difusiones (incluso, difusiones de salto), y el valor de un derivado financiero se expresaría como el valor esperado de su valor futuro, bajo una llamada "medida de riesgo neutral" o "medida de martingala" (que no son más que unas medidas de probabilidad especiales). Sin embargo, hay que tomar tipos de interés en cuenta. Si la tasa es $r$ , entonces se multiplicaría el futuro (tiempo $t$ ) por $e^{-rt}$ antes de tomar el valor esperado, que es efectivamente lo mismo que añadir un $-rf(x)$ término al generador. Y, como en el caso general anterior, $r$ puede ser una función del estado del mercado. La segunda forma principal (que se me ocurre) en la que aparecen estos términos en las finanzas se debe al riesgo de crédito. Si una contraparte tiene probabilidad $rdt$ de impago en cualquier momento $t$ entonces tendrías un $-rf(x)$ término que se produce en la difusión. Esto está más en consonancia con la idea de "matar" discutida anteriormente, pero se comporta de manera muy similar a los tipos de interés.

Por último, mencionaré que la EDP en la situación más general dependiente del tiempo es de la forma $\partial f/\partial t + Af =0$ , donde $f$ es el valor esperado de alguna función del proceso en un momento futuro (y no necesariamente la primera vez que llega a la frontera). Como se menciona en la otra respuesta, esto se conoce a veces como el Fórmula de Feynman-Kac generalmente por los físicos, y también como el Ecuación de Kolmogorov hacia atrás por los matemáticos. En realidad, la ecuación al revés en el enlace de Wikipedia no tiene la $-cf$ pero sí en el caso más general de las difusiones con muerte. La EDP adjunta que se aplica a las densidades de probabilidad se conoce como Ecuación de Fokker-Planck por los físicos y la ecuación de avance de Kolmogorov a los matemáticos.

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Editar: Como se ha mencionado anteriormente, lo que tenemos aquí no se corresponde del todo con la ecuación de Helmholtz, debido al signo de $c$ y el comportamiento de las soluciones cambia dependiendo de si $c$ es positivo o negativo. En la interpretación probabilística, $c > 0$ es la tasa de eliminación del proceso. Observando (3) y (4), podemos ver que las soluciones de la EDP decaerán exponencialmente a medida que nos alejemos de la frontera. Además, si los valores en la frontera son no negativos, entonces $\psi$ tiene que ser no negativo en todas partes. El método probabilístico conduce naturalmente a $\psi(x)$ siendo una combinación lineal positiva de sus valores de frontera (es decir, una integral con respecto a una medida en la frontera). Por otra parte, la ecuación de Helmholtz tiene soluciones ondulatorias oscilantes. Los valores de $\psi(x)$ puede superar sus valores en la frontera y, aunque $\psi\vert_{\partial U}$ es positivo, es posible que $\psi(x)$ para ir en negativo dentro del dominio. Por lo tanto, no es una combinación lineal positiva de sus valores límite. Podríamos intentar utilizar una $c$ en (3) y (4) pero, por las razones que acabamos de mencionar, esto no puede funcionar en general. Lo que ocurre es que $e^{\vert c\vert T}$ no es integrable. Para evitar esto, es posible transformar la ecuación de Helmholtz de manera que el coeficiente de orden cero $-c$ es positivo. Podemos hacer una sustitución como $\psi(x)=\tilde\psi(x)e^{ikS(x)}$ , donde $S$ es cualquier solución a $\Vert\nabla S\Vert=1$ . Entonces, la ecuación de Helmholtz se convierte en $$\frac12\Delta\tilde\psi + ik\nabla S\cdot\nabla\tilde\psi + \frac{ik}{2}(\Delta S)\tilde\psi=0.$$ Así que tenemos un término de orden cero de la forma $-\tilde c\tilde\psi$ para $\tilde c=-ik\Delta S/2$ . Esta es imaginaria, por lo que ya no tiene sentido como tasa de "muerte". Sin embargo, como su componente real es no negativo (aquí es cero), ecuaciones como (3) y (4) dan expresiones acotadas y bien definidas para $\tilde\psi$ . Una búsqueda en Google da como resultado el siguiente documento que utiliza dicha sustitución: Nuevas soluciones de la ecuación de Helmholtz y su aplicación a la difracción . Supongo que los documentos a los que se hace referencia en la otra respuesta utilizan técnicas similares para transformar la ecuación en una forma que pueda ser manejada por el método probabilístico, aunque todavía no he tenido la oportunidad de verlos y no son de libre acceso.