Área de un rectángulo esférico

Question

Me gustaría saber cómo se puede calcular el área de un rectángulo esférico que está definido por dos longitudes y latitudes en la esfera unitaria.

Conozco bien las respuestas como esta pregunta aquí pero me gustaría hacerlo utilizando la integración multidimensional.

Mi enfoque hasta ahora

Sé que puedo parametrizar los puntos de una esfera unitaria $$\partial\mathbb{S}^2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1\}$$ utilizando coordenadas esféricas: $[0,\pi]\times[0,2\pi]$

$$\Omega= \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{bmatrix}$$

Si integrara sobre toda el área de la esfera de la unidad, haría lo siguiente: $$\int_F do = \int_0 ^\pi\int_0 ^{2\pi}|\partial_{\theta}\Omega\times \partial_{\phi}\Omega|d\phi d\theta$$

Ahora, sin embargo, no necesito integrar sobre toda la esfera unitaria, por lo que debo cambiar mi área de integración. Además, creo que tendría que cambiar ligeramente mi parametrización.

Digamos que el rectángulo es $b$ alto (distancia entre dos latitudes), y $c$ ancho, (la distancia entre dos latitudes) así como $a$ por encima del ecuador.

Desde $\phi$ "es simétrico" en lugar de integrar desde $[0,2\pi]$ podemos integrar desde $[0,c]$ (¿verdad?), pero ¿cómo puedo integrar sobre $\theta$ ya que no sólo es importante la altura del rectángulo, sino también la distancia a la que se encuentra del ecuador.

Su ayuda es muy apreciada.

(Perdón por la mala imagen)

Answer 1

El tipo de coordenadas esféricas que está utilizando puede describirse como un longitud $\phi$ y un co-latitud $\theta.$ A diferencia de la latitud de los cartógrafos, que es cero en el ecuador y tiene una magnitud máxima de $90$ grados ( $\frac\pi2$ radianes) al norte o al sur, la co-latitud es cero en el polo norte de su esfera (en coordenadas cartesianas $(0,0,1)$ ) y es $\pi$ radianes en el otro polo; es $\frac\pi2$ radianes en el ecuador.

Como quieres que uno de los límites de tu integral esté en un ángulo $a$ "por encima" del ecuador, es decir, más cerca del $\theta=0$ el polo, la co-latitud de ese límite es $\frac\pi2 - a.$ La co-latitud del otro límite es otra $b$ radianes más cerca del polo, por lo que es $\frac\pi2 - a - b.$

Obsérvese que el límite en $\frac\pi2 - a - b$ tiene una co-latitud menor, por lo que el intervalo de integración "comienza" allí en lugar de "terminar" allí. Por tanto, tenemos la integral $$ \int_{\frac\pi2 - a - b}^{\frac\pi2 - a} \,\int_0^c \left\lvert\partial_{\theta}\Omega\times \partial_{\phi}\Omega \right\rvert \,d\phi \,d\theta. $$

Por simetría de las figuras por encima y por debajo del ecuador, obtendremos el mismo resultado si integramos $$ \int_{\frac\pi2 + a}^{\frac\pi2 + a + b} \!\int_0^c \left\lvert\partial_{\theta}\Omega\times \partial_{\phi}\Omega \right\rvert \,d\phi \,d\theta. $$

Answer 2

No se preocupe, la imagen es suficientemente clara. Hay otras cuestiones: cuando hablamos de geometría esférica Tenemos en mente objetos construidos con arcos de grandes círculos. La pregunta a la que has enlazado se refiere a eso. Y como se dice, allí, no se puede tener un rectángulo con cuatro ángulos rectos (porque, si los ángulos interiores de tal rectángulo son $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ y $\delta$ y el radio es $1$ el área del rectángulo sería el exceso esférico, es decir $\alpha+\beta+\gamma+\delta-2\pi$ ). En tu caso, sí tienes cuatro ángulos rectos, pero no pasa nada, porque los círculos de igual latitud no son grandes círculos. Estás proponiendo coordenadas esféricas, y eso está bien y es natural, porque las longitudes y latitudes son ángulos. Así que voy a suponer que el $a, b, c$ en tu pregunta son ángulos. Entonces, los límites de integración son bastante claros: $0$ a $c$ para $\phi$ (como usted escribió), y $a$ a $a+b$ para $\theta$ . Supongo que entenderás que tendrás que hacer tu $|\partial_{\theta}\Omega\times \partial_{\phi}\Omega|$ un poco más explícito para calcular algo, y eso (seamos sinceros) sería razón suficiente para mí no utilizar una integral, porque (al igual que Arquímedes) ni siquiera necesito un lápiz, de lo contrario: $c\,(\cos(a)-\cos(a+b))$ . El razonamiento es aquí y creo que es un excelente ejemplo de genio humano. Por supuesto, si Si hacemos más explícita la expresión mencionada, el cálculo no será más complicado, pero Arquímedes tuvo que prescindir de ese cómodo formalismo.