Dejemos que $c\in\mathbb{C}$ tal que $|c|>e$ .
¿Cuántas soluciones hay para la ecuación $cz^n=e^z$ en $G=\{z\in\mathbb{C}:\Re(z)<1\}$ ?
De forma equivalente, podemos observar los ceros de la función $f(z)=cz^n-e^z$ .
Obsérvese que si miramos $D=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ y definir $g(z)=cz^n$ entonces $\forall z\in\partial D$ tenemos
$$|f(z)-g(z)|=|e^z|=|e^{x+iy}|=|e^x|\leq e<|c|=|g(z)|$$
Entonces, a partir del teorema de Rouché obtenemos $Z_f=Z_g=n$ en $D$ .
¿Es suficiente decir que $f$ sólo tiene $n$ ceros en $G$ ?
Otra observación es que si $w$ es un cero de $f$ de la multiplicidad $m>1$ entonces
$$f(w)=cw^n-e^w=0,\ f'(w)=cnw^{n-1}-e^w=0$$
Por lo tanto, $cnw^{n-1}-cw^n=0\implies w^{n-1}(n-w)=0\implies w=0\ \lor\ w=n$ .
Ahora, $w=0$ es imposible ya que $f(0)=-1\neq 0$ y $w=n$ no está en $G$ . Deducimos que todo cero de $f$ es de multiplicidad $1$ .
