Convergencia de $\int _0^{\pi }\frac{1}{\sqrt{\left|\tan x\right|}}dx$

Question

Convergencia de $\int _0^{\pi }\frac{1}{\sqrt{\left|\tan x\right|}}dx$

Tengo un problema al hacer esta pregunta. Intenté separar la integral en dos integrales así: $$\int _0^{\frac{\pi }{2}\:}\frac{1}{\sqrt{\tan x}}dx+\int _{\frac{\pi }{2}}^{\pi\:}\frac{1}{\sqrt{-\tan x}}dx$$ En cuanto a la primera integral, puedo demostrar que converge, pero para la segunda integral no encuentro la forma de demostrar que converge. No sé si mi separación es el enfoque correcto para resolver este problema. ¿Puede alguien sugerirme una forma de hacerlo u otro enfoque para resolver este problema? Muchas gracias.

Answer 1

Si la integral converge,

$$\int_0^\pi\frac{dx}{\sqrt{|\tan x|}}=2\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{\tan x}}.$$

Entonces podemos integrar la singularidad por separado mediante

$$\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{\tan x}} = \int_0^{\pi/2}\left(\frac1{\sqrt{\tan x}}-\frac1{\sqrt x}\right)dx+\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt x} \\= \int_0^{\pi/2}\left(\frac1{\sqrt{\tan x}}-\frac1{\sqrt x}\right)dx+2\sqrt x\bigg|_0^{\pi/2}$$ donde el nuevo integrando está acotado.

(Lo utilizamos para las pequeñas $x$ , $\tan x\sim x$ .)