Demostrar que $f(x)$ es Riemann - Integrable utilizando el criterio de Cauchy para la integrabilidad

Question

Cauchy - Criterio de integrabilidad: Una función acotada $f$ en $[a,b]$ es Riemann-ntegrable si para cualquier $\varepsilon > 0$ hay una partición $P_{\varepsilon}$ tal que $U(f, P_{\varepsilon}) - L(f, P_{\varepsilon}) < \varepsilon$

Considere $f(x) = \frac{1}{x+1}$ en $I = [0, c]$ , $c>0$ . nota que $f$ es decreciente en $I$ . Queremos demostrar que $f$ es integrable en Riemann según el criterio de Cauchy, es decir, para $\varepsilon > 0$ debemos encontrar una partición $P_{\varepsilon}$ tal que $U(f, P_{\varepsilon}) - L(f, P_{\varepsilon}) < \varepsilon$ .

Si $0 < \varepsilon < c$ , lo intenté $P_{\varepsilon} = \{0, \varepsilon, c\}$ pero

$$U(f, P_{\varepsilon}) - L(f, P_{\varepsilon}) = (\varepsilon + \frac{c - \varepsilon}{1 + \varepsilon}) - (\frac{\varepsilon}{1 + \varepsilon} + \frac{c - \varepsilon}{1 + c}),$$

que es desordenado y complicado.

En cuanto a $0 < c < \varepsilon$ Ni siquiera sé por dónde empezar.

Alguna pista sobre cómo hacer la partición $I$ ? Gracias.

Answer 1

Para $n \in \mathbb N$ dejar $P:=\{\frac{j}{n}c: j=0,....,n\}.$

Demostrar que

$$U(f, P)- L(f, P)= \frac{c}{n}(1- \frac{1}{c+1}).$$

Si $ \varepsilon>0$ está dado, entonces elija $n$ tal que

$$\frac{c}{n}(1- \frac{1}{c+1} ) < \varepsilon.$$

Answer 2

Elija $N$ lo suficientemente grande como para que $$\frac 1N\lt \frac\varepsilon{c^2}.$$ Dejemos que $P=\{0=x_0\lt x_1=c/N\lt\cdots\lt x_i=ic/N\lt\cdots\lt x_N=c\}$ sea una partición de $[0,c]$ . Tenemos $$U(f,P)=\sum_{i=1}^N\frac1{x_{i-1}+1}(x_i-x_{i-1})$$ y $$L(f,P)=\sum_{i=1}^N\frac1{x_{i}+1}(x_i-x_{i-1}).$$ Entonces \begin{align*} U(f,P)-L(f,P)&=\sum_{i=1}^N\frac{(x_i-x_{i-1})^2}{(x_{i-1}+1)(x_{i}+1)}\\ &\leq\sum_{i=1}^N(x_i-x_{i-1})^2\\ &=Nc^2/N^2=c^2/N\lt\varepsilon. \end{align*}