conjunto denso en $\mathbb{R}$ y su conjunto contenedor; también su intersección

Question

Estoy utilizando la definición (sin mucha topología) de que un conjunto $S$ de los números reales es denso en $\mathbb{R}$ si $S \cap (a,b) \neq \varnothing$ para todos $a,b \in \mathbb{R}$ y $a<b$ .

Mis preguntas:

a.) Si un conjunto $S$ es denso en $\mathbb{R}$ ¿Qué puede concluir sobre el conjunto $A$ que contiene $S$ como subconjunto?

Estaba pensando que necesito mostrar que mientras $cl(S) \subset A$ que esto estaría bien. Sin embargo, la topología no es un requisito para esta pregunta y no estoy seguro de cómo hacerlo.

b.) Si 2 conjuntos $B1$ y $B2$ son ambos densos en $\mathbb{R}$ ¿Qué se puede decir del conjunto? $B1 \cap B2$ ?

Aquí he estado pensando en comparar los racionales y los irracionales. Entiendo que ambos son densos en $\mathbb{R}$ pero uno es contable y el otro no. Aquí tampoco tienen intersección. Pero, si considerara $(-\infty, 10) \cap (0,+\infty)$ habría una intersección no vacía.

Así que no estoy seguro de lo que se puede decir sobre una pregunta tan general....

Gracias por cualquier orientación.

Answer 1

A) $A$ debe ser denso, ya que cualquier intervalo abierto interseca $S$ y, por lo tanto, se cruza con $A$ .

b) La intersección de dos conjuntos densos podría estar vacía. Considere, como lo hizo, el conjunto de los racionales y el conjunto de los irracionales. La intersección podría ser densa tomando un conjunto denso $S$ y el ajuste $S=B_1=B_2$ . No se puede decir nada en general sobre la intersección de dos conjuntos densos. La intersección puede ser densa, vacía o incluso no vacía y no densa (por ejemplo, los racionales y la unión de los irracionales con un conjunto no denso $A$ de los racionales).