$E/K$ es una extensión de campo. Supongamos que $\exists m\in Z, \forall x\in E, [K(x):K]\leq m$ . Entonces $E/K$ es una extensión finita?

Question

$E/K$ es una extensión de campo. Supongamos que $\exists m\in Z_{>0}, \forall x\in E, [K(x):K]\leq m$ .

$\textbf{Q1:}$ ¿Necesito la separabilidad para deducir que $E/K$ es una extensión finita de grado como máximo $m$ (He utilizado la separabilidad para deducir la extensión simple y esto me facilita mucho la vida ya que sólo ejecuto el argumento de la extensión simple).

$\textbf{Q2:}$ Si necesito la separabilidad para deducir $E/K$ extensión finita, por favor dé una extensión no finita con cada elemento que tenga un polinomio mínimo con límite uniforme en el grado del polinomio mínimo. Está claro que el contraejemplo debe venir de $char\neq 0$ caso.

Answer 1

Después de pensarlo unos minutos, no vi ningún ejemplo en la característica cero. Pero dejemos $k=\Bbb F_p$ , $K=k(t_1,t_2,\cdots)$ lo que se obtiene al unir infinitos elementos trascendentales independientes a $k$ . Ahora dejemos que $E=K^p$ el conjunto de todos los $p$ -potencias de elementos de $K$ . Entonces cada $x\in K$ satisface $x^p\in E$ por lo que toda extensión simple tiene un grado de extensión de campo $p$ . Por supuesto, la extensión total no es de dimensión finita.