Pregunta sobre el límite: $\lim_{x\to 0}\large \frac{\sin^2{x^{2}}}{x^{2}}$

Question

¿Cómo podría resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas?

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2{x^{2}}}{x^{2}}$$

Creo que el límite sería cero, pero no estoy seguro.

Answer 1

Creo que quieres $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x^2}{x^2}.$$ Reescribamos nuestra función como $$\left(\sin x^2\right) \frac{\sin x^2}{x^2}.$$ ¿Ahora es fácil? Sí, efectivamente el límite es $0$ .

Answer 2

---

Utilizamos $\;\sin^2(x^2) = (\sin x^2)(\sin x^2)$

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(x^2)}{x^2}\;=\;\lim_{x \to 0}\; (\sin x^2) \frac{\sin x^2}{x^2} = \lim_{x\to 0} \sin x^2 \cdot 1 = 0$$

Recall , también estamos usando el hecho que $\lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1$ . Aquí, $t = x^2$ .

---

Answer 3

$$\lim_{x\to 0} \frac{ \sin^{2} x^2}{x^2} = \lim_{t\to 0} \frac{\sin^2 t }{t}$$ que es igual a $$ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t \sin t \cdot t}{t\cdot t} = \lim _{t\to0} \frac{\sin t}{t} \lim _{t\to0} \frac{\sin t}{t} \lim _{t\to 0} t = 1\cdot 1 \cdot 0 =0$$

Answer 4

Otra solución, a través del teorema de Sandwich: Sabemos que $|\sin x|\leq |x|$ por cada $x$ . Así, siempre que $x\neq 0$ tenemos $$ 0\leq\left|\frac{\sin^2(x^2)}{x^2}\right| = \frac{\left|\sin(x^2)\right|\cdot\left|\sin(x^2)\right|}{x^2} \leq \frac{x^2\cdot x^2}{x^2}=x^2 . $$ Ahora bien, como $\lim_{x\to 0} x^2=\lim_{x\to 0}0=0$ la regla de Sandwich da que $\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(x^2)}{x^2}=0$ .

Answer 5

Utilizamos $$\sin^2 x =\frac{1-\cos 2x}{2}$$

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x^2}{x^2}.=\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos 2x^2}{2x^2}=0 $$