Considere un objeto de masa puntual que se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad constante. Como la velocidad es constante también lo es su momento lineal. Si medimos el momento angular del cuerpo con respecto a un origen O, entonces nos damos cuenta de que el momento angular del cuerpo cambiará a medida que el cuerpo se mueve porque el momento angular $\textbf{L}=\textbf{r}\times\textbf{P}$ y $\textbf{r}$ varía de un punto a otro. Pero según la ecuación $$\frac{d\textbf{L}}{dt}=\textbf{r}\times \frac{d\textbf{P}}{dt}=\textbf{r}\times\textbf{F}$$ Esto sería igual a cero ya que $\textbf{P}$ es una constante o porque no hay ninguna fuerza que actúe sobre un cuerpo en movimiento uniforme. ¿Cómo es esto posible si $\textbf{L}$ es diferente en distintos puntos con respecto al origen
Respuestas
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Esta es la misma respuesta de Rod, pero permítanme un enfoque más gráfico:
El momento angular cuando la partícula está en la posición (1) es justo:
$$L = rmv$$
porque en este punto la dirección del movimiento es perpendicular a la línea que une el objeto con el punto de referencia. Hasta aquí todo bien.
Consideremos ahora el punto (2). El momento angular en este punto es:
$$ \mathbf L = \mathbf d \times m\mathbf v $$
Considerando sólo la magnitud y utilizando la definición del producto cruzado obtenemos:
$$ L = d\,mv\,\sin\theta = \frac{r}{\sin\theta} mv\,\sin\theta = rmv $$
Así que encontramos que la magnitud del momento angular es constante. Y la dirección es constante porque es normal al diagrama en ambos casos. Así que aunque parezca que el momento angular debería estar cambiando de hecho es constante.
La fórmula $\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$ superficialmente parece que el momento angular de un cuerpo en reposo sí cambia con el tiempo. Pero el cambio de $\vec{r}$ es paralela al momento, por lo que $\vec{L}$ es de hecho constante. En símbolos, aplicando la regla de Leibniz:
$$\mathrm{d}_t \vec{L} = (\mathrm{d}_t \vec{r}) \times \vec{p} + \vec{r}\times \mathrm{d}_t\,\vec{p}$$
pero $\vec{p}$ es constante, por supuesto, por lo que el segundo término desaparece. También $\mathrm{d}_t \vec{r}=\vec{v}$ La velocidad, que es paralela al momento, por lo que el primer término también desaparece.
