Mostrar $\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^4}=\infty$ a través de $\epsilon$ - $\delta$

Question

Demostrar que $\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^4}=\infty$ .

Considere nuestro trabajo preliminar: $$\begin{align} |\frac{1}{x^4}-0|<\epsilon &\implies|x^4-0|<\frac{1}{\epsilon} \tag1\\ &\implies|x^2-0||x^2+0|<\frac{1}{\epsilon} \tag2\\ &\implies|x-0||x+0||x^2+0|<\frac{1}{\epsilon} \tag3 \end{align}$$ Elija $\delta=1$ entonces $$|x-0|<\delta=1\implies -1<x<1\Rightarrow|x-0|<1 \tag4$$ Así, $$|x-0||x+0||x^2+0|<\frac{1}{\epsilon}\implies|x-0|<\frac{1}{\epsilon} \tag5$$ Ahora, dejemos que $\epsilon>0$ y elija $\delta= \min\{1,\frac{1}{\epsilon}\}$ .

¿Qué debo hacer a continuación para escribir esta prueba? Estoy confundido sobre cómo elegir $\delta$ para que $\frac{1}{\epsilon}$ se convierte en $\epsilon$ . Además, ¿tengo que elegir varios límites superiores ya que he dividido mi polinomio en tres valores absolutos distintos?

Answer 1

Dejemos que $M$ se le dé. Entonces, toma $\delta = \dfrac{1}{\sqrt[4]{M}}$ . Así,

$$0< |x| < \delta \implies |x| < \dfrac{1}{\sqrt[4]{M}} \implies |x^4| < \dfrac{1}{M} \implies |\dfrac{1}{x^4}| > M $$