¿Qué cantidad de sustancia radiactiva quedará después de $5$ ¿días?

Question

Inicialmente hay $8$ gramos de un material radiactivo en un contenedor.La vida media del material es $2$ días.

Qué cantidad de sustancia radiactiva quedará después de $5$ ¿días?

Por el decaimiento exponencial sé que después de $2$ días que tengo $4$ gramos del material radiactivo y que $2$ días después tendré $\cfrac{2}{2}=1$ gramo de la sustancia.

Ahora no sé cómo encontrar la cantidad de radiactivo que tengo después de $5$ días, es decir, en el "principio", a grandes rasgos, de la $6^{th}$ día.

Mi libro ofrece como solución la siguiente ecuación $\cfrac{2-x}{2}=\cfrac{x-1}{x}$ ( $x$ es la cantidad de material después de $5$ días) de lo que se deduce que $x=\sqrt{2}$ pero no sé cómo se ha establecido esta ecuación, cuál es el significado detrás de esto.

Si alguien puede ayudarme a entender cómo se deriva esa ecuación se lo agradezco mucho.

Answer 1

Se sabe que las cantidades restantes al principio de los días son

$$0\to8g\\2\to4g\\4\to2g\\5\to xg\\6\to1g.$$

Entonces usted expresa que el cantidad relativa que desaparece en un solo día (la desintegración diaria) es una constante. Con las desintegraciones del día $4$ al día $5$ y el día $5$ al día $6$ ,

$$\frac{2-x}2=\text{Cst}=\frac{x-1}{x}.$$

Es más sencillo expresar la fracción que queda, dando $$\frac x2=\text{Cst}=\frac 1x$$ e inmediatamente se obtiene $x=\sqrt2g$ .

Answer 2

La cantidad de material después del tiempo $t$ (olvidemos las unidades por ahora) es $$m(t) = m(0) \cdot 2^{-\frac t{\tau}}$$

donde $\tau$ es la vida media del material (se puede ver que enchufando $t=\tau$ le da $m(\tau)=m(0)\cdot\frac12$ que es lo que cabría esperar).

Ahora, lo que quieres saber es qué $m(t)$ será igual a cuando $t=5$ dado que $\tau=2$ y $m(0)=8$ . Basta con introducir los números y listo:

$$m(5)=8g\cdot 2^{-\frac{5\text{ days}}{2\text{ days}}} = \frac{8g}{2^\frac{5}{2}} = \frac{8}{2\cdot2\cdot\sqrt2}g = \sqrt2g$$