Verificar $\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ con $t=\tan(\frac{x}{2})$

Question

Se me pidió que verificara, con $t=\tan(\frac{x}{2})$ La siguiente identidad:

$$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$

Estoy bastante oxidado con la trigonometría, y no he podido encontrar la prueba de esto. Estoy seguro de que puede haber alguna propiedad trigonométrica que debería conocer para simplificar el trabajo. ¿Podría alguien darme una pista o decirme cómo resolver este problema? He intentado simplificar el lado derecho buscando obtener $\cos(x)$ pero fracasó.

Answer 1

Escriba $y=x/2$ . Entonces, multiplicando por $\cos^2y$ en la parte superior e inferior, $$\frac{1-\tan^2y}{1+\tan^2y}=\frac{\cos^2y-\sin^2y}{\cos^2y+\sin^2y}=\frac{\cos2y}1=\cos x$$ El denominador se simplifica por la identidad pitagórica $\cos^2x+\sin^2x=1$ y el numerador se simplifica con $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$ .

Answer 2

$$\cos(x)=\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)=(1-t^2)/(\sec^2(x/2))=(1-t^2)/(1+t^2)$$

Answer 3

Recuerda las identidades del instituto: $\;1+\tan ^2\theta=\frac1{\cos^2\theta}\;$ y $\;\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ :

$$\frac{1-\tan^2\frac x 2}{1+\tan^2\frac x 2}=\cos^2\tfrac x2\bigl(1-\tan^2\tfrac x 2\bigr)=\cos^2\tfrac x2-\sin^2\tfrac x2=\cos x.$$