esto

Question

Estaba jugando y se me ocurrió este producto, que creo que es igual a $\mathrm e^2$.

$$\prod_{k=0}^\infty \left(1 + \frac{1}{k!}\right) \stackrel{?}{=} \mathrm e^2$$

Después de calcular el $1000$ condiciones de este producto, tengo aproximadamente $7.36431$ (compare: $\mathrm e^2 \approx 7.38906$, por lo que la convergencia es muy lenta si existentes).

He intentado mirar algunas definiciones de producto $\rm e$, pero no tratar con el producto que desea.

Sé que el producto converge desde $\sum_{k=0}^\infty 1/k!$ $\sum_{k=0}^\infty 1/k!^2$ convergen así.

Answer 1

Bastante cerca, pero como su cálculo se muestra, no lo suficientemente cerca. El logaritmo de "el resto" no es difícil de estimar, y está demasiado próximo a $0$ para compensar la brecha.

Observación: Para las pequeñas positivo $x$, por un alternando series de argumento o de otra manera, tenemos $\log(1+x)\lt x$. Así que el logaritmo de la infinita producto $\displaystyle\prod_{k=n}^\infty \left(1+\frac{1}{k!}\right)$ es de menos de $\displaystyle\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k!}$.

Por la delimitación de la cola con una serie geométrica, nos encontramos con que es $\lt \dfrac{n+1}{n\cdot n!}$. La exponencial de esta, para que un gran $n$, está demasiado cerca de la $1$. Un cálculo del producto parcial a $n=8$ es más que suficiente para demostrar que no puede haber igualdad.

La convergencia de este infinito producto es rápido, en el mismo estadio de béisbol como la convergencia de $\displaystyle \sum\dfrac{1}{k!}$.

Answer 2

Cálculo de los términos primero 10 millones del producto con una precisión de trabajo de 2000 dígitos da el resultado

  7.36430827236725725637277250963105

Por el momento calculo menos términos con una mayor precisión de trabajo pero me sorprendería si el resultado cambiaría mucho.