Estructura de los módulos simples de $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ en una raíz de unidad.

Question

Esto es Teorema VI.5.5 en Kassel Grupos Cuánticos :

Dejemos que $q$ sea una raíz de la unidad. Demostrar: Cualquier simple $U_q$ -módulo de dimensión $e$ es isomorfo a un módulo de la siguiente lista:

1. $V(\lambda, a, b)$ con $b\neq 0$ ,
2. $V(\lambda,a,0)$ donde $\lambda\neq \pm q^{j-1}$ , $1\leq j\leq e-1$
3. $\widetilde{V}(\pm q^{1-j},c)$ con $c\neq 0$ y $1\leq j\leq e-1$

Aquí $e$ es el menor número entero s.t. $q^e=\pm 1$ . El $U_q$ -Las estructuras modulares se definen en un $e$ -espacio vectorial de dimensiones $V$ con base $\{v_0,\ldots,v_{e-1}\}$ así.

1. $V(\lambda\neq0,a,b)$ :

   $Ev_0=av_{e-1}$ , $\,Fv_{e-1}=bv_0$ , $Kv_p = \lambda q^{-2p}v_p$ , $Fv_p=v_{p+1}$ y $$ Ev_{p+1}=\left([p+1]\frac{q^{-p}\lambda - q^p\lambda^{-1}}{q-q^{-1}}+ab\right)v_p$$

2. $\widetilde{V}(\mu\neq0,c)$ :

   $Fv_0=0$ , $Ev_{e-1}=cv_0$ , $Kv_p = \mu q^{2p}v_p$ , $Ev_p=v_{p+1}$ y $$Fv_{p+1}=[p+1]\frac{q^{-p}\mu^{-1} - q^p\mu}{q-q^{-1}} v_p $$

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Mi enfoque de la prueba es el siguiente: Tome un simple y arbitrario $e$ -dimensional $U_q$ -Módulo $W$ . Este módulo tiene un elemento no nulo $w$ s.t. $Kw=\alpha w$ para algunos $\alpha\in\mathbb{C}^x$ . A continuación, vea si puede encontrar las relaciones de arriba allí bajo algunas suposiciones adicionales.

Descubrí que si $Fw\neq 0$ y $F^e\neq 0$ entonces $W\cong V(\lambda, a, b)$ con $b\neq0$ .

A continuación quería ver un módulo con $Fw\neq0$ pero $F^e = 0$ pero no veo por qué $Ew_0=aw_{e-1}$ debería ser cierto aquí, $w_p \equiv Fw_{p-1}$ con $w_0\equiv w$ . En el primer caso, lo probé utilizando $$Ew_0 = \frac{1}{b}EFw_{e-1}$$ y luego enchufar el elemento Casimir, pero ahora ese primer paso ya no funciona. ¿Es posible lo siguiente? \begin{align*} Ew_0 \propto E^2 w_1 \propto \ldots\propto E^e w_{e-1}, \end{align*} pero $E^e$ está en el centro por lo que actúa por multiplicación por un escalar. Por lo tanto, $Ew_0 = aw_{e-1}$ . [Problema: ¿qué pasaría si $Ew_i$ se desvanece en alguna parte]. Además, suponiendo que $\alpha=\pm q^{j-1}$ lleva a una contradicción: Si $j=p+1$ entonces la forma de $\alpha$ implica $$0=Ew_{p+1} = (FE + [E,F])w_p,$$ que sólo es posible si $\alpha =\pm q^{\frac{3}{2}}$ .

Para el último simplemente asumo $Fw=0$ , lo que implica $Ew\neq 0$ de lo contrario, el lapso de $w$ sería un submódulo 1-d. Aquí definimos $w_p = Ew_{p-1}$ . Es fácil de verificar $Fw_{p+1}$ pero de nuevo estoy atascado con $Ew_{e-1}=cw_0$ y, en particular, no veo por qué $c$ es distinto de cero.

Ahora, agradecería mucho cualquier pista para resolver esto. Gracias.

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EDIT: Para que quede claro, mis preguntas son básicamente:

1. ¿Dónde está el $Ew_0 = a w_{e-1}$ ¿vienen de la segunda parte?

2. ¿Dónde está el $Ew_{e-1} = c w_0$ ¿vienen de la tercera parte?

3. ¿Por qué $c$ tiene que ser distinto de cero?

4. ¿Por qué el valor propio $\alpha$ de la forma $\pm q^{j-1}$ en la última parte?

Estas son las cosas que hay que tener en cuenta, entonces la prueba está terminada.

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EDITAR #2:

Creo que la respuesta a la primera pregunta es la siguiente. Esta derivación: \begin{align*} Ew_0 \propto E^2 w_1 \propto \ldots\propto E^e w_{e-1}, \end{align*} de $Ew_0=aw_{e-1}$ es válido si no $\exists p$ s.t. $Ew_p=0$ . Y $Ew_p=0$ equivale a \begin{align*} q^{-(p-1)}\lambda - q^{p-1}\lambda^{-1} = 0. \end{align*} La existencia de tal $p$ también violaría la simplicidad, por cierto.

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EDITAR #3:

Respuestas a las otras preguntas: $KEw_{e-1}=\alpha Ew_{e-1}$ implica $Ew_{e-1}=cEw_0$ como antes. Si $\alpha=\pm q^{1-j}$ entonces $Fw_{p+1}=0$ para algunos $p$ . Los vectores $\{w_{p+1},..., w_{e-1}\}$ entonces abarca un $U_q$ -submódulo a menos que $c\neq 0$ .

La única pregunta abierta es ahora: ¿Por qué es $\alpha$ de esa forma? O más bien: ¿Es cierto que, si $\alpha$ no es de esa forma, entonces el submódulo es isomorfo a uno de los dos primeros?

Answer 1

Resumiré mis resultados en esta respuesta.

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Si asumimos $Fw\neq0$ y $F^e=0$ entonces la derivación de nuestro módulo es isomorfa a $V(\lambda, a,0)$ es casi la misma que la primera, pero tenemos que derivar $Ew_0=aw_{e-1}$ de manera diferente, ya que ahora $Fw_{e-1}=0$ . Sabemos que \begin{align*} Ew_0 \propto E^2w_1\propto\ldots\propto E^ew_{e-1}, \end{align*} y como $E^e$ está en el centro, esto significa que $Ew_0 = aw_{e-1}$ para algún escalar (posiblemente cero) $a$ . Aquí es importante señalar que no podemos tener $Ew_p=0$ para algunos $w_p$ ya que entonces el subespacio abarcado por $\{w_p,...,w_{e-1}\}$ se cerraría bajo $U_q$ -acción, contradiciendo la simplicidad.

Pero $Ew_p=0$ equivale a $\lambda = \pm q^{p-1}$ -- Deberías convencerte de esto si no lo ves. Así hemos terminado por esta parte.

Para la última parte, por supuesto, asumimos el único caso posible que queda: $Fw=0$ . Necesariamente, $Ew\neq 0$ Si no es así $W$ no sería sencillo. Y ahora lo dejo como un ejercicio fácil para verificar que \begin{align*} \widetilde{V}(\pm q^{1-j},c) \cong V(\pm q^{j-1},0,c) \end{align*} mediante el automorfismo de Cartan, es decir, el mapa \begin{align*}uv\mapsto \omega(u)v \end{align*} donde $u\in U_q$ , $v\in W$ y \begin{align*} \omega(E) = F, \quad \omega(F) = E \quad \omega(K) = K^{-1}, \end{align*} es un isomorfismo de $U_q$ -módulos. La simplicidad implica entonces $c\neq 0$