Encontrar la base de un subespacio dada la extensión de un conjunto de vectores

Question

Sea U = span{ $u_1, u_2, u_3$ },

donde

$u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $ , $u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $ , $u_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} $ ,

Debemos encontrar una base { $w_1, w_2, w_3$ } para U.

El primer paso que me han enseñado para hacerlo, es tener una matriz C con $u_1, u_2, u_3$ como filas. ¿Por qué ponerlos en filas?

(Hice una breve comprobación en preguntas similares, ninguna de ellas responde a mi pregunta. Una breve búsqueda en Google sí trae preguntas similares, pero ninguna de ellas responde a por qué ponemos el { $u_1, u_2, u_3$ } en filas.

Answer 1

Es principalmente por una razón técnica: supongo que conoces la reducción de filas de Gauß para resolver ecuaciones lineales. En un sistema de ecuaciones lineales, permite determinar el número de ecuaciones linealmente independientes.

Para la extensión de un número de vectores, debe realizar una reducción de columna análoga. Es más sencillo transponer la matriz y realizar la reducción de filas.

Answer 2

Los pones como filas de la matriz para determinar si son o no linealmente independientes. Pruébalo --- cuando pongas los vectores como las filas de una matriz y la transformes en forma escalonada reducida, (2, 2, 2) se cancelará porque es la combinación de u1 + u2.