No existen $m\times n$ y $n\times m$ matrices rectangulares $A$ y $B$ . t. $AB=I_m$ (El $m\times m$ Matriz de identidad)

Question

Dejemos que $m,n\in\Bbb N$ ser positivo con $m>n$ . Demostrar que $\nexists A\in M_{mn}\ \&\ B\in M_{nm},\ AB=I_m$ (El $m\times m$ Matriz de identidad)

He observado que esto no es cierto si las matrices se multiplican en sentido contrario. Es decir, digamos $B=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1& 0 \end{bmatrix}$ y $A=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$
Entonces el producto $BA$ produce $I_2$ Pero no al revés. Aquí esto no se contradice con el enunciado de la pregunta debido al orden de la matriz mencionado en la pregunta (es decir, la que tiene un mayor número de filas debe multiplicarse primero).
Por lo tanto, una prueba para la pregunta dada es muy apreciada

Answer 1

Observe que $B$ tiene más columnas que filas, por lo que el núcleo de $B$ no es trivial (existirá una columna libre). Por tanto, un vector no nulo $x$ existe tal que $Bx=0$ . Así, $AB$ no puede ser un mapa uno-uno (porque ambos $0$ y $x$ mapa a $0$ ), por lo que no es igual a $I$ .

Answer 2

El espacio de la columna de un $m\times n$ matriz $A$ es la extensión de las columnas de $A$ (considerados como elementos en $\mathbb{R}^m$ o el campo en el que se encuentren sus matrices). Podemos describirlo como $$ \{Ax:x\in\mathbb{R}^n\} $$

Por lo tanto, el espacio de la columna de $AB$ es un subespacio del espacio de columnas de $A$ por lo que no puede tener una dimensión mayor.

Dado que el espacio de columnas de $A$ tiene una dimensión máxima de $n$ el espacio de columnas de $AB$ también tiene dimensión como máximo $n$ . El espacio de columnas de la matriz de identidad $I_m$ tiene dimensión $m>n$ . Por lo tanto, $AB\ne I_m$ .

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La dimensión del espacio de columnas de $A$ se conoce comúnmente como el rango de $A$ , $\operatorname{rk}(A)$ . El argumento anterior se puede enunciar como $\operatorname{rk}(AB)\le\operatorname{rk}(A)$ . También sostiene que $\operatorname{rk}(AB)\le\operatorname{rk}(B)$ (no es necesario para la prueba anterior).

Answer 3

Dejemos que $B$ sea una matriz con más columnas $B_1,\ldots, B_n$ que las filas. Entonces existe un $l$ s.t. $B_l = \sum_{i \not = l} c_iB_i$ donde el $c_i$ s son escalares.

Sin embargo, si hay una matriz $A$ tal que $AB = I$ (así $A$ tiene $m$ filas) entonces para cada $k$ debe cumplirse lo siguiente: $A_k \cdot B_k = 1$ y $A_k \cdot B_i = 0$ para cada $i \not = k$ . Así, dejando $A_l$ sea el $l$ -en la fila de $A$ debe cumplirse lo siguiente: $A_l\cdot B_l = 1$ y $A_l \cdot B_i = 0$ para todos $i \not = l$ . Sin embargo, $A_l \cdot B_i = 0$ para todos $i \not = l$ implicaría $A_l \cdot B_l = \sum_{i \not = l} c_iA_l \cdot B_i = 0$ , contradiciendo la ecuación $A_l \cdot B_l = 1$ .