¿Hay homomorfismos no triviales de anillos $M_{n+1}(R)\rightarrow M_n(R)$?

Question

Sea $R$ un anillo finitamente generado con identidad, $M_n(R)$ el conjunto de matrices $n\times n$. ¿Existen homomorfismos de anillos no triviales $M_{n+1}(R)\rightarrow M_n(R)$? Esta debería ser una pregunta elemental en álgebra abstracta. Pero incluso si $R$ es un campo, no pude encontrar una demostración rápida (negativa). Se agradecen los comentarios.

RMK: Si vemos el mapa natural $M_{n}(R)\rightarrow M_{n+1}(R)$ como un homomorfismo de anillos, no requerimos que un homomorfismo de anillos preserve las identidades.

Answer 1

Según el teorema de Amitsur-Levitzki, las matrices de $ n \times n $ sobre un anillo conmutativo satisfacen una identidad polinómica de grado $ 2n $ y ninguna de menor grado. Por lo tanto, no puede haber un homomorfismo de anillos inyectivo $ M_{n+1}(R) \to M_n(R) $, lo que al menos descarta el caso cuando $ R $ es un campo.

Answer 2

Aquí hay un ejemplo ligeramente tonto de un homomorfismo de anillos no trivial $M_{n+1}(R)\rightarrow M_n(R)$ con $R$ no conmutativo.

Sea $R=\mathbb C \times M_2(\mathbb C)$. Entonces existe un homomorfismo de anillos $M_2(R)\rightarrow M_1(R)$ que envía el ideal $M_2(M_2(\mathbb C)) \subseteq M_2(R)$ a $0$ y $M_2(\mathbb C) \subseteq M_2(R)$ isomórficamente a $0 \times M_2(\mathbb C)$.

Puede haber más ejemplos interesantes basados en esta idea.

Answer 3

Si $R$ es un anillo local, posiblemente no conmutativo, entonces no hay homomorfismos no triviales. Sea $B_k$ el semigrupo de unidades de matriz de $k \times k$ y $0$. Es bien sabido que toda imagen homomórfica propia de $B_k$ colapsa todos los elementos. Entonces, si $M_{n+1}(R) \to M_n(R)$ no es trivial, no debe colapsar $B_{n+1}$ (ya que $B_{n+1}$ abarca $M_{n+1}(R)$). Pero entonces $B_{n+1}$ se incrusta en $End(R^n)$ como un semigrupo con cero. Por lo tanto, $End(R^n)$ contiene $n+1$ idempotentes ortogonales. Pero esto implica que $R^n$ es una suma directa de al menos $n+1$ módulos proyectivos no nulos. Pero un proyectivo es libre para anillos locales y los anillos locales tienen número de base invariable. Esto es una contradicción.

Agregado. Este argumento funciona siempre y cuando $R$ tenga la propiedad de número de base invariable para módulos libres finitamente generados y los $R$-módulos proyectivos generados finitamente sean libres. En particular, se aplica a álgebras libres y FIRs (anillos de ideales libres) si la memoria no falla.

Answer 4

También podemos descartar el caso de $ R $ conmutativo apelando al teorema de Artin-Procesi: un álgebra de Azumaya de rango constante $ (n + 1) ^ 2 $ (por ejemplo, $ M_ {n + 1} (R) $) satisface todas las identidades $\mathbb Z$- multilineales de $ M_ {n + 1} (\mathbb Z) $ pero ninguna imagen homomórfica no nula de ella satisface todas las identidades $\mathbb Z$- multilineales de $ M_ {n} (\mathbb Z) $.

Tal vez vale la pena señalar que si R es un campo, entonces hay una forma bastante sencilla de demostrar que no hay un homomorfismo de anillos inyectivo $ M_ {n + 1} (R) \to M_ {n} (R) $. De hecho, supongamos que tenemos un homomorfismo de anillos no nulo $ M_ {n '} (R) \to M_ {n} (R) $. Esto nos permite ver $ R ^ n $ como un módulo izquierdo de $ M_ {n '} (R) $. Ahora, si R es un campo, entonces $ M_ {n '} (R) $ es simple, por lo que $ R ^ n $ se descompone en una suma directa finita de módulos irreducibles de $ M_ {n '} (R) $. Es un hecho estándar (y fácil de demostrar) que cada módulo de este tipo es isomorfo a $ R ^ {n '} $. Obtenemos así un isomorfismo $ R ^ n = R ^ {n '} \oplus \cdots \oplus R ^ {n '} $ de módulos de $ M_ {n '} (R) $, y por lo tanto de espacios vectoriales de R restringiendo la acción al subanillo de matrices escalares. Pero entonces el álgebra lineal nos permite concluir que $ n '| n. Olvidalo. :)

Actualización: Es posible tener un mapeo de anillos no trivial $ M_ {n + 1} (R) \to M_ {n} (R) $ con $ R $ finitamente generado (y necesariamente no conmutativo). La idea, inspirada en mi percance anterior y en el comentario de wccanard, es encontrar un anillo finitamente generado $ R $ para el cual haya un isomorfismo $ R ^ {n + 1} \cong R ^ n $ de módulos izquierdos $ R $. En este caso, se obtienen isomorfismos de anillos $$ M_ {n + 1} (R) \cong \mathrm{End} _R (R ^ {n + 1}) \cong \mathrm{End} _R (R ^ n) \cong M_ {n} (R). $$ Los teóricos de anillos nos proporcionan ejemplos de tales anillos. De hecho, para cualquier entero positivo $ n Leavitt da un anillo finitamente generado $ L_ {n, m} $ para el cual hay un isomorfismo de módulos izquierdos $ L_ {n, m} ^ n \cong L_ {n, m} ^ m $ y, en consecuencia, un isomorfismo de anillos $ M_ {n} (L_ {n, m}) \cong M_ {m} (L_ {n, m}) $.

Answer 5

Dado que no está claro que $R$ debe ser conmutativo (ninguna de las etiquetas elimina esta posibilidad), la hipótesis de generación finita (que interpreto como finitamente generada como un álgebra sobre un campo) no es significativa, en vista de la existencia de anillos para los cuales todos los módulos proyectivos finitamente generados son cíclicos y libres.

El subálgebra denso estándar de la C*-álgebra de Cuntz es un ejemplo de esto, y es finitamente generada como un álgebra sobre los números complejos, y satisface $M_n R$ isomorfo a $R$ para todo $n$, produciendo aplicaciones unitarias (isomorfismos) $M_{n+1}R \to M_n R.