Si $|u+v| = |u| + |v|$ entonces $u = \lambda v$ . ¿Cómo puedo demostrar $\lambda \ge 0$ ?

Question

Estoy tratando de demostrar que si $|u+v| = |u| + |v|$ implica $u = \lambda v$ para $\lambda \ge 0$ .

Para ello he $|u + v|^2 = (|u| + |v|)^2 \Rightarrow |u|^2 + |v|^2 + 2|u||v| = |u|^2 + |v|^2 + 2u\cdot v \Rightarrow |u||v| = u \cdot v \Rightarrow u = \lambda v$ donde la última implicación se sigue por Cauchy-Schwarz.

Sin embargo, ¿cómo puedo demostrar que $\lambda \ge 0$ ?

Answer 1

Si $\lambda <0$ entonces para $v\neq 0$ $$u\cdot v=\lambda v\cdot v=\lambda |v|^2<0.$$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Si $\lambda <0$ entonces

$$|u + v | = |\lambda +1| |v| \neq (|\lambda| +1)|v| = |u| + |v|$$

si $v\neq 0$ .