Cuestiones sobre la definición de convergencia casi segura

Question

Dejemos que $Y_n:=n^2{\bf 1}_{[0,1/n]}(U)$ donde $U\sim \mathcal{U}([0,1]).$

No veo por qué tenemos la igualdad $$P(\{\omega\in\Omega\;;\lim_{n\to\infty}Y_n=0\})=P(U\in(0,1])\;?$$

Tengo otra pregunta Tengo algunos problemas para entender la convergencia casi segura de las variables aleatorias.

Por ejemplo, dejemos que $(X_n)_n$ sea una secuencia de variables aleatorias tal que la distribución sea uniforme en $[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]$ como puedo ver la convergencia casi segura de $X_n$ ?

Answer 1

Si $U(w) \in (0,1]$ entonces existe $N$ tal que $U(\omega) > 1/N$ . Entonces, para todos los $n\geq N$ tenemos $Y_{n}(\omega)=0$ y por lo tanto $\lim_{n\to\infty}Y_{n}(\omega)=0$ . Por el contrario, si $U(w)=0$ entonces $Y_{n}(\omega)=n^{2}$ para todos $n$ y así $Y_{n}(\omega)\to \infty$ .

Así, $Y_{n}(\omega)\to 0$ si $U(\omega)\in(0,1]$ .

Para la segunda pregunta, es necesario ser más específico sobre el espacio de probabilidad subyacente y la medida de probabilidad, pero voy a suponer que estamos trabajando en $[-1,1]$ con medida de Lebesgue normalizada (es decir, dividir por 2, que es la longitud del intervalo $[-1,1]$ ).

Afirmo que $X_{n}\to 0$ a.s. En efecto, si $\omega\neq 0$ entonces existe $N$ tal que $|\omega|>1/N$ para todos $n\geq N$ . Por lo tanto, $\lim_{n\to\infty}X_{n}(\omega)=0$ si $\omega\neq 0$ . Desde $\mathbb{P}([-1,1]\setminus\{0\})=1$ tenemos $X_{n}\to 0$ a.s.

Answer 2

No es necesario volver al espacio probabilístico en la segunda pregunta. Si $X_n\sim \mathcal U[-\frac1n,\frac1n]$ que $\mathbb P(|X_n|\leq \frac1n)=1$ y también $\mathbb P(|X_n|\leq \frac1n, n=1,2,\ldots)=1$ . El evento $\{|X_n|\leq \frac1n, n=1,2,\ldots\}$ implica el evento $\{|X_n|\to 0 \text{ as }n\to\infty\}$ Así que $$ 1=\mathbb P(|X_n|\leq \frac1n, n=1,2,\ldots)\leq\mathbb P(|X_n|\to 0). $$ Entonces $\mathbb P(|X_n|\to 0)=1$ .