Funtores entre categorías de morfismos

Question

Dejemos que ${\cal{C}}$ y ${\cal{D}}$ sean categorías, y que $\textsf{Mor}({\cal{C}})$ , $\textsf{Mor}({\cal{D}})$ sean sus categorías de morfismos (los objetos son morfismos, los morfismos son pares de morfismos que hacen conmutar el cuadrado apropiado). Sea $\textsf{Mor}({\cal{C}})\xrightarrow{F}\textsf{Mor}({\cal{D}})$ sea un functor (covariante), y supongamos además que es un isomorfismo de categorías.

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Mi pregunta es si $F$ El mapa de la empresa en los objetos envía necesariamente morfismos de identidad de $\cal{C}$ a morfismos de identidad de ${\cal{D}}$ Si es cierto, ¿podría darme una pista sobre cómo demostrarlo?

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Estos son mis antecedentes. Obviamente un isomorfismo de categorías ${\cal{C}}\cong{\cal{D}}$ induce un isomorfismo de categorías $\textsf{Mor}({\cal{C}})\cong\textsf{Mor}({\cal{D}})$ y me preguntaba si lo contrario es cierto (de hecho, primero me preguntaba esto sobre la categoría de los isomorfismos, pero después de poco progreso decidí cambiar a todos los morfismos). Mi instinto me dice que debería ser cierto; en un sentido muy laxo, $\textsf{Mor}({\cal{C}})$ debe "caracterizar completamente" ${\cal{C}}$ (y ciertamente contiene una copia incrustada de ${\cal{C}}$ ). El propósito de mi pregunta es porque he logrado mostrar si $F$ mapea morfismos de identidad a morfismos de identidad, entonces puedo construir el isomorfismo (obvio) ${\cal{C}}\cong{\cal{D}}$ .

Gracias por cualquier idea/ayuda.

(Como apunte, ¿tiene MSE algún soporte nativo para un paquete de diagramas conmutativos? Soy bastante competente con tikz/tikz-cd pero sólo puedo utilizarlos aquí compilando localmente, recortando el pdf y luego incrustando la imagen recortada).

Answer 1

No tengo una buena intuición para esto, así que podría estar equivocado, pero no veo por qué esto debería ser cierto: Mor(C) no captura mucho sobre la composición en C.

Este es mi intento de contraejemplo. Sea C = D el grupo cíclico {1,g} de orden 2, pensado como una categoría con un solo elemento x con dos automorfismos 1 y g. Entonces, si entiendo bien, Mor(C) = Mor(D) es la siguiente categoría:

• los elementos son 1 y g;
• hay 8 morfismos:
  1. $\mathbf{id}_1 = (1,1): 1\to 1$
  2. $\mathbf{g}_1 = (g,g): 1\to 1$
  3. $\mathbf{id}_g = (1,1): g\to g$
  4. $\mathbf{g}_g = (g,g): g\to g$
  5. $\alpha_{1,g} = (1,g): 1\to g$
  6. $\alpha_{g,1} = (1,g): g\to 1$
  7. $\beta_{1,g} = (g,1): 1\to g$
  8. $\beta_{g,1} = (g,1): g\to 1$ .

(Sería mucho más fácil si pudiera dibujar esto, pero te dejaré hacerlo). Ahora dejemos que F sea el functor

• intercambiando los elementos 1 y g;
• enviando
  1. $\mathbf{id}_1 \leftrightarrow \mathbf{id}_g$
  2. $\mathbf{g}_1 \leftrightarrow \mathbf{g}_g$
  3. $\alpha_{1,g} \leftrightarrow \alpha_{g,1}$
  4. $\beta_{1,g} \leftrightarrow \beta_{g,1}$ .

Creo que F es un isomorfismo de Mor(C) a Mor(D), pero como envía 1 a g, no puede venir de un morfismo de C a D.