Encuentra la serie de Fourier de la función dada.

Question

¿Cómo puedo encontrar la serie de Fourier de la función f(x)=(1-x)(1+x) en el intervalo [-1/2, 1/2].

Answer 1

Los coeficientes de Fourier en un intervalo $[-L/2,L/2]$ vienen dadas por $$ A_n=\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}f(x)\cos\frac{2\,\pi\,n\,x}{L}\,dx,\quad B_n=\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}f(x)\sin\frac{2\,\pi\,n\,x}{L}\,dx. $$ En su caso $L=1$ y, la integración por partes, $$ A_n=2\int_{-1/2}^{1/2}(1+x)(1-x)\,\cos(2\,\pi\,n\,x)\,dx=2\int_{-1/2}^{1/2}(1-x^2)\,\cos(2\,\pi\,n\,x)\,dx=\frac{(-1)^{n+1}}{\pi^2\,n^2}. $$ Desde $f$ está en paz, $B_n=0$ .

Answer 2

En tu respuesta a mi comentario, preguntabas por la diferencia de cambiar el período de $[-1,1]$ a $[-1/2,1/2]$ .
Fijemos este punto en primer lugar. Si $$ f(x/T)\quad \to \quad a_{\,n} \cos \left( {\frac{{2\pi n}} {T}x} \right) $$ entonces $$ g(x/T') = f(x/T)\quad \to \quad a_{\,n} \cos \left( {\frac{{2\pi n}} {{T'}}x} \right) $$

Eso es:
si cambia el $x$ escala y, en consecuencia, el período, manteniendo la escala de ordenadas, entonces los coeficientes de Fourier serán los mismos, pero se aplicarán a las frecuencias que están en relación inversa con los períodos.

En su caso: $$ x^{\,2} = \left( {\frac{x} {1}} \right)^{\,2} \quad \to \quad a_{\,n} \cos \left( {\frac{{2\pi n}} {1}x} \right)\quad \Rightarrow \quad x^{\,2} = \left( {\frac{1} {2}} \right)^{\,2} \left( {\frac{x} {{1/2}}} \right)^{\,2} \quad \to \quad \frac{{a_{\,n} }} {4}\cos \left( {\frac{{2\pi n}} {{1/2}}x} \right) $$ Lo que significa, que los coeficientes de la serie para: $$ x^{\,2} \quad \left| {\;x \in \left[ { - 1/2,\;1/2} \right]} \right. $$ será $1/4$ de los correspondientes a: $$ x^{\,2} \quad \left| {\;x \in \left[ { - 1,\;1} \right]} \right. $$ y que, por supuesto, se aplicarán a los armónicos con frecuencias dobles.

Eso es porque usted tiene un escalamiento ya sea en $x$ y en $y$ .