¿Por qué $(0, 0)$ no es un mínimo de $f(x, y) = (y-3x^2)(y-x^2)$?

Question

Hay un ejercicio en mis listas de esas funciones: $$f(x, y) = (y-3x^2)(y-x^2) = 3 x^4-4 x^2 y+y^2$$

$$g(t) = f(vt) = f(at, bt); a, b \in \mathbf{R}$$

Me pide probar que $t = 0$ es un mínimo local de $g$ para todo $a, b \in \mathbf{R}$

Yo lo hice fácilmente: $$g(t) = 3 a^4 t^4-4 a^2 t^2 b t+b^2 t^2$$ $$g'(t) = 2 b^2 t-12 a^2 b t^2+12 a^4 t^3$$ $$g''(t) = 2 b^2-24 a^2 b t+36 a^4 t^2$$

Es un punto crítico: $$g'(0) = 0; \forall a, b$$

Su creciente para todos los a, b: $$g''(0) = 2b^2 > 0; \forall b \ne 0$$ y $$b = 0 \implies g(t) = 3 a^4 t^4$$ que sólo tiene un mínimo, en $0$, y no hay máximo.

Sin embargo, también me pide probar que $(0, 0)$ es no un mínimo local de $f$. ¿Cómo puede ser esto posible? Quiero decir, si $(0, 0)$ es un mínimo cada línea recta que pasa a través de él, entonces, en este punto, $f$ debe ser el aumento en todas las direcciones, no?

Answer 1

El uso de la factorización tiene tomamos nota de que $f$ es:

• cero en las curvas de $y=x^2$ $y=3x^2$
• negativo cuando se $x^2<y<3x^2$
• positivo en caso contrario.

Ya que hay puntos arbitrarios cerca de $o=(0,0)$ que satisfacer $x^2<y<3x^2$ (es decir $y=2x^2$ donde $x$ es pequeña) y puntos arbitrarios cerca de $o$ que no satisfacen $x^2<y<3x^2$ (es decir $y=0$ pequeñas y $x$) vemos que $o$ no es un mínimo local.

EDITAR Tenga en cuenta que en cualquier barrio de $o$ no hay ningún segmento de línea a través de $o$ que se encuentra en la región de $x^2<y<3x^2$.

2ª Edición Dibuja una línea a través de $o$, entonces no es un segmento de línea que rodean $o$ tales que el segmento de línea que no tiene punto de $(x,y)$ tal que $x^2<y<3x^2$. Espero que esto está suficientemente claro - de lo contrario, sólo pregunte!

Imagen descriptiva

Answer 2

Diciendo que "$(0,0)$ es un mínimo local de $f$ restringido a cualquier línea a través del origen" significa que, para cada línea, no podrían ser algunos de los puntos malos en la línea en la que se $f$ toma valores negativos, pero ninguno de ellos es "el origen". Tenga en cuenta que "el origen" puede depender de la línea de lo que estamos hablando.

Sin embargo, hay un montón de líneas a través de la de origen, y cada uno puede tener algunos puntos malos. Es muy posible que los puntos malos en todas las líneas juntas para acercarse al origen, lo que puede hacer $(0,0)$ no es un mínimo local de $f$.

Esa es la idea de cómo la aparente paradoja puede resolverse. Como para demostrar que lo que realmente sucede: se puede caracterizar los puntos de $(x,y)$ a que $f(x,y) < f(0,0) = 0$? Son los puntos de permanecer lejos de $(0,0)$, o todos ellos en torno al origen?

Answer 3

Dibuja el conjunto de puntos en el $xy$-plano donde $f(x,y) = 0$. A continuación, mira las regiones del plano en el que se crean y averiguar en cual de ellos $f(x,y)$ es positivo y en que $f(x,y)$ es negativo. Desde allí, usted debe ser capaz de demostrar que $(0,0)$ no es ni un local máximo ni un mínimo local. (Sugerencia: el Uso de tu dibujo, ¿hay algún disco centrado en $(0,0)$ que $f(x,y)$ toma su valor mínimo en $(0,0)$?)

Tan importante como la comprensión de por qué el fenómeno que se está observando, está sucediendo (no hay mínimo local en el origen aunque la función restringida a cualquier línea recta que pasa por el origen tiene un mínimo local) es de averiguar cómo construir una función de este tipo y por qué el ejemplo dado es, en cierto sentido, el tipo más simple de ejemplo, usted podría construir. La idea que se usa aquí es muy similar a crear un ejemplo que muestra que $\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,y)$ no puede existir incluso si el límite existe a lo largo de todas las líneas rectas se aproxima al origen.

Lo que realmente estás aprendiendo en este ejemplo es que la aparentemente razonable de la intuición de que nos habría, por supuesto, que podemos entender de una función de dos variables cerca de un punto mediante la comprensión de todas las funciones de una variable obtenida mediante la restricción de la función a las líneas a través de ese punto es equivocada -- en particular, no si estamos tratando de encontrar los máximos y mínimos locales.