$\displaystyle\lim_{x\to -8} \frac {8 − |x|} {8 + x} \ $ ¿Cómo lo resuelvo?

Question

\begin{align*} \lim_{x\to -8^+} \frac {8 |x|} {8 + x} &= \lim_{x\to -8^+} \frac {8 x} {8 + x}\\ &= \frac {8 8} {8 + -8} \\ &= 0 \end{align*}

\begin{align*} \lim_{x\to -8^-} \frac {8 |x|} {8 + x} &= \lim_{x\to -8^-} \frac {8 (-x)} {8 + x} \\ &= \frac {8 + 8} {8 + -8} \\ &= 0 \end{align*}

Sin embargo, la clave de respuestas dice que estoy equivocado. ¿En qué he fallado?

Answer 1

$$ \lim_{x\rightarrow -8} \frac{8-|x|}{8+x} = \lim_{x<0,\ x\rightarrow -8} \frac{8+x}{8+x}=1 $$

Answer 2

Tenga en cuenta que $\frac{8-|x|}{8+x}=\frac{8-x}{8+|x|}$ Así que $$\lim_{x\rightarrow-8}\frac{8-|x|}{8+x}=\lim_{x\rightarrow-8}\frac{8-x}{8+|x|}=\frac{\lim_{x\rightarrow-8}(8-x)}{\lim_{x\rightarrow-8}(8+|x|)}=\frac{16}{16}=1$$ .

Tenga en cuenta que $\lim_{x\rightarrow-8}(8+|x|)=16\neq0$ Así que lo anterior funciona.

Answer 3

Específicamente con respecto a su respuesta, el mayor error está obviamente en $$\frac {8 + 8} {8 + -8} = 0 \quad\text{and}\quad \frac {8 + -8} {8 + -8} = 0$$ Aquí tienes $0$ en el denominador, lo que hace que ambas fracciones sean indefinidas. Además, tanto si se aproxima $-8$ desde la izquierda o desde la derecha, todavía se trata de un número negativo en un barrio lo suficientemente pequeño alrededor de $-8$ , por lo que se puede suponer que $x<0$ . El resultado correcto, tal y como han sugerido otras respuestas, es $$\lim_{x\to-8} \frac{8-\vert x\vert}{8+x}=\lim_{x\to -8}\frac{8+x}{8+x}=1$$

Answer 4

Dejemos que $\alpha$ representan un número infinitesimalmente cercano a 0, pero no igual a 0.

Ahora, tenemos \begin{align*} \lim_{x\to -8^+} \frac {8 − |x|} {8 + x} & \end{align*}

se convierte en

\begin{align*} \frac {8 − |-8+\alpha|} {8 + -8+\alpha} & \end{align*} .

Desde |-8+ $\alpha$ |=8, por lo tanto terminamos con $\alpha$ / $\alpha$ =1, para el primer límite. Del mismo modo, el razonamiento da como resultado 1 para el segundo límite.