Contraejemplo de la desigualdad de Necas

Question

Aquí está la desigualdad de Necas :

Dejemos que $\Omega$ sea un dominio abierto de Lipschitz de $\mathbb R^d$ . Luego está $C>0$ que sólo depende de $\Omega$ tal que: $$\left \| P \right \| _{L_2(\Omega)} \leqslant C \left \| P \right \| _{\chi(\Omega)} \quad\forall P \in L_2^{0}(\Omega). $$

con la notación

$\\ L_2^{0}(\Omega)=\{P\in L^2(\Omega);\; \int_{\Omega}P(x)dx=0\}$

$\chi(\Omega):=\{P \in H^{-1}(\Omega) ,\nabla P \in (H^{-1}(\Omega))^N\}$ y $\left \| P \right \| _{\chi(\Omega)} = \left \| P \right \|_{H^{-1}(\Omega)}+\left \| \nabla P \right \| _{(H^{-1}(\Omega))^N}$ .

Mi pregunta es: ¿Cómo puedo encontrar un contraejemplo de la desigualdad de Necas, para un dominio irregular (dominio no Lipschitz)?

gracias por su ayuda.

Answer 1

La mía no es la mejor respuesta pero es un comienzo... La desigualdad de Necas se utiliza para demostrar la desigualdad de Korn. A su vez, la desigualdad de Korn implica la desigualdad de Poincare (véase el teorema 2.2 en este papel por lo que si la desigualdad de Poincare falla, también lo hace la de Necas. El ejemplo estándar de dominios irregulares en los que falla la desigualdad de Poincare es un dominio formado por habitaciones y pasillos. Se puede encontrar en el libro de Mazya sobre espacios de Sobolev o en el libro de Leoni sobre espacios de Sobolev. El artículo original donde se introdujo por primera vez este ejemplo es L. E. Fraenkel On Regularity of the Boundary in the Theory of Sobolev Spaces, 1979.