Moviéndose de las Ecuaciones Geodésicas de Schwarzchild a las Ecuaciones de Movimiento

Question

Así que soy un estudiante y decidí (por alguna razón extraña) intentar abordar la relatividad general para mi proyecto final de astrofísica y física computacional este semestre. He estado leyendo mucho y en general las cosas tienen sentido conceptualmente. Las matemáticas tensoriales están un poco por encima de mí, pero una vez que me siento con un lápiz y papel para trabajar en ellas, espero que las cosas comiencen a tener más sentido en ese departamento. Sin embargo, sigo enfrentándome a una pregunta que no puedo resolver:

¿Cómo se pasa de las ecuaciones geodésicas derivadas, por ejemplo, de la métrica de Schwarzschild a ecuaciones de movimiento en el espacio cartesiano 3D real que podrían utilizarse para calcular la órbita de una masa puntual alrededor de un cuerpo esféricamente simétrico?

No estoy seguro si estoy pasando por alto algo y en realidad no se utilizan las ecuaciones geodésicas para obtener dichas ecuaciones de movimiento, o simplemente no he buscado lo suficiente en mis estudios para encontrar la conexión. Cualquier ayuda sería muy apreciada, ya que necesito algunas ecuaciones de movimiento tangibles para calcular órbitas numéricamente para mi proyecto de física computacional.

Answer 1

Si resuelves la ecuación geodésica en el espacio-tiempo de Schwarzschild, entonces obtendrás, para la partícula que cae libremente, las coordenadas de su línea de mundo $x^{\mu}(\lambda)$ en, digamos, el sistema de coordenadas de Schwarzschild (global); aquí $\lambda$ es un parámetro afín como el tiempo propio $\tau$ para una partícula masiva. Las $x^i(\lambda)$ serán las coordenadas espaciales, por lo que al invertir $t(\lambda)$ para obtener $\lambda(t)$ podemos obtener $x^i(t)$ que corresponde a la trayectoria espacial de la partícula que cae libremente en las coordenadas globales.

Adelante, inténtalo con el caso más simple posible: el de una partícula que cae radialmente desde el reposo en el infinito.