Significado geométrico de la conexión simétrica

Question

Si $(M, g)$ es una variedad riemanniana, existe una conexión única $\nabla$ , llamada conexión Levi-Civita, que satisface las siguientes condiciones:

1) Compatibilidad con la métrica de Riemann, es decir $\nabla(g)$ =0

2) Simetría, es decir $\nabla_X(Y)-\nabla_Y(X)=[X, Y]$

Mientras que lo primero parece bastante natural (igualmente, la transformación paralela de un vector a lo largo de una curva no cambia su longitud), ¿qué intuición geométrica se esconde detrás de lo segundo?

La única idea que tengo, excepto por el hecho de que hace que una conexión compatible sea única, es que es de alguna manera similar a la igualdad de las derivadas parciales a lo largo de los campos conmutables.

Answer 1

Esta es una excelente pregunta. Como se indica en el enlace de MathOverflow en los comentarios, hay muchas maneras de pensar en la torsión y la libertad de torsión. A riesgo de ser repetitivo, permíteme resumir algunas de ellas, añadiendo mis propias ideas.

En todo momento, dejamos que $M$ sea una variedad suave, $\nabla$ una conexión en $TM$ y $$T^\nabla(X,Y) = \nabla_XY - \nabla_YX - [X,Y]$$ su campo tensorial de torsión. Dejamos que $X$ , $Y$ denotan campos vectoriales.

Observaciones iniciales

(1) Coordenadas paralelas

La torsión (en un punto) puede verse como la obstrucción a la existencia de coordenadas paralelas (en ese punto):

Es un hecho: Dejemos que $p \in M$ . Entonces $T^\nabla|_p = 0$ si y sólo si existe un sistema de coordenadas $(x^i)$ centrado en $p$ tal que $\nabla \partial_i |_p = 0$ .

La cuestión es que si $T^\nabla = 0$ entonces cualquier marco paralelo es conmutativo (es decir: $\nabla E_i = 0$ $\forall i$ $\implies$ $[E_i, E_j] = 0$ $\forall i,j$ ), por lo tanto es un marco de coordenadas (por el "teorema de la caja de coordenadas").

(2) Conmutación de los segundos parciales

Los dos hechos siguientes indican que la torsión puede considerarse como un obstáculo para la conmutación de (ciertos tipos de) segundas derivadas parciales.

Para una función suave $f \colon M \to \mathbb{R}$ Recuerde que su Hessiana covariante (o segunda derivada covariante ) es la covariante $2$ -campo tensorial definido por $$\text{Hess}(f) := \nabla \nabla f = \nabla df.$$ Explícitamente, $\text{Hess}(f)(X,Y) = (\nabla_X df)(Y) = X(Yf) - (\nabla_XY)(f)$ .

Hecho [Lee]: Los siguientes son equivalentes:

(i) $T^\nabla = 0$

(ii) Los símbolos de Christoffel de $\nabla$ con respecto a cualquier sistema de coordenadas son simétricas: $$\Gamma^k_{ij} = \Gamma^k_{ji}$$

(iii) El hessiano covariante de cualquier función suave $f$ es simétrica: $$\text{Hess}(f)(X,Y) = \text{Hess}(f)(Y,X)$$

La ausencia de torsión también implica otro tipo de simetría de los segundos parciales:

Lemma de simetría [Lee]: Si $T^\nabla = 0$ entonces para toda familia de curvas suaves $\Gamma \colon (-\epsilon, \epsilon) \times [a,b] \to M$ tenemos $$\frac{D}{ds} \frac{d}{dt} \Gamma(s,t) = \frac{D}{dt} \frac{d}{ds} \Gamma(s,t).$$

No sé con certeza si la inversa del lema de la simetría es cierta, pero imagino que sí.

Algunas interpretaciones heurísticas

(i) "Torsión" de los campos vectoriales paralelos a lo largo de las geodésicas

Supongamos que tenemos una conexión $\nabla$ en $\mathbb{R}^n$ cuyas geodésicas son líneas, pero que tiene torsión. Podríamos entonces imaginar que la traslación paralela de un vector a lo largo de una línea hace que el vector "gire" a lo largo de la línea, como si sujetáramos cada extremo de una cuerda y la hiciéramos rodar entre nuestros dedos.

Un ejemplo explícito de esta conexión se encuentra en el La respuesta de MathOverflow está enlazada en los comentarios .

La justificación de por qué se debe creer en esta interpretación en general se discutirá más adelante en (B).

En el hilo de MO, Igor Belegradek señala dos hechos relacionados:

Hecho [Spivak]:

(1) Dos conexiones $\nabla^1$ , $\nabla^2$ en $TM$ son iguales si y sólo si tienen las mismas geodésicas y tensores de torsión.

(2) Para cada conexión en $TM$ existe una única conexión sin torsión con las mismas geodésicas.

(ii) Cierre de paralelogramos geodésicos (de segundo orden)

Dejemos que $v, w \in T_pM$ sean vectores tangentes. Sea $\gamma_v$ y $\gamma_w$ sean las geodésicas cuyos vectores tangentes iniciales son $v$ , $w$ respectivamente. Consideremos la traslación paralela del vector $w$ a lo largo de $\gamma_v$ y también el vector $v$ a lo largo de $\gamma_w$ . Entonces las puntas de los dos vectores resultantes coinciden de segundo orden si y sólo si $T^\nabla|_p = 0$ .

Las razones heurísticas para ello (¡y una imagen!) se dan en esta excelente respuesta de Sepideh Bakhoda .

Una prueba precisa de este hecho es esbozada por Robert Bryant al final de esta respuesta de MO suya .

Más razones que nos gustan $T^\nabla = 0$

(A) Submanifolds de $\mathbb{R}^N$ vienen con conexiones sin torsión

Supongamos que $(M,g)$ se sumerge isométricamente en $\mathbb{R}^N$ .

Como se insinúa en los comentarios, la conexión euclidiana $\overline{\nabla}$ en $\mathbb{R}^N$ es libre de torsión. Es un hecho que la componente tangencial de $\overline{\nabla} = \nabla^\top + \nabla^\perp$ define una conexión inducida en $M \subset \mathbb{R}^N$ . Esta conexión inducida en $M$ será entonces también libre de torsión (y compatible con la métrica inducida).

Punto: Si $(M,g) \subset \mathbb{R}^N$ es una submanifold isométrica inmersa, entonces su conexión inducida es libre de torsión.

Este ejemplo es más general de lo que parece: por el Teorema de Incrustación de Nash, toda colector riemanniano $(M,g)$ puede estar incrustado isométricamente en algún $\mathbb{R}^N$ .

(B) $T = d^\nabla(\text{Id})$

[Añadiré esto en otro momento].

(C) Simplificación de identidades

Por último, debo mencionar que $T^\nabla = 0$ simplifica enormemente muchas identidades.

En primer lugar, tenemos la fórmula de Ricci $$\nabla^2_{X,Y}Z - \nabla^2_{Y,X}Z = R(X,Y)Z - \nabla_{T^\nabla(X,Y)}Z.$$ Así, en el caso de que $T^\nabla = 0$ podemos interpretar la curvatura $R(X,Y)$ como el obstáculo a la conmutación de las segundas derivadas covariantes de campos vectoriales .

En presencia de torsión, las Idenidades Primera y Segunda de Bianchi se leen, respectivamente, $$\mathfrak{S}(R(X,Y)Z) = \mathfrak{S}[ T(T(X,Y),Z) + (\nabla_XT)(Y,Z)],$$ $$\mathfrak{S}[(\nabla_XR)(Y,Z) + R(T(X,Y),Z)] = 0,$$ donde $\mathfrak{S}$ denota la suma cíclica sobre $X,Y,Z$ .

Referencias

[Lee] "Múltiples riemannianos: Una introducción a la curvatura"

[Spivak] "Una introducción completa a la geometría diferencial: Volumen II"

Answer 2

La presencia de torsión en una conexión permite extender el transporte paralelo en una variedad de ser un mapeo lineal a un mapeo afín más general. La torsión genera entonces la parte de traslación del mapeo afín. Pero el transporte paralelo se define entre espacios tangentes que son, por supuesto, espacios lineales y éstos no admiten mapeos afines de forma natural. Por lo tanto, pensamos que cada espacio tangente es el espacio vectorial asociado a un espacio afín subyacente y el transporte paralelo afín es entre estos espacios afines tangentes.

Estos espacios afines tangentes capturan quizás en cierto sentido la noción clásica de puntos cercanos infinitesimales. Los puntos de un espacio afín tangente están todos infinitesimalmente cerca unos de otros, así como infinitesimalmente cerca del punto de la variedad de la que el espacio afín es la fibra.

Los puntos de cada espacio afín están en igualdad de condiciones, no hay ningún punto distinguido entre ellos. Podemos preguntarnos si es posible elegir un origen en cada espacio afín tangente que pueda identificarse con el punto del colector base, "uniendo" así los espacios afines tangentes al colector. Esto puede llevarse a cabo eligiendo algún punto inicial en un espacio afín tangente y tratando de transportar paralelamente este punto a lo largo de toda la variedad. Si no hay torsión, esto tiene éxito, el colector se genera como un submanifold en el haz de espacios afines tangentes y el haz se convierte en isomorfo al haz tangente habitual. Pero si hay torsión esto no es posible, los espacios afines tangentes "resbalan", no son "acoplables".

Esto puede ser expresado por

$D^2P=T(X,Y)$

donde $D$ es la derivada covariante exterior, $P$ es una función puntual que mapea un punto de la variedad a un punto de su espacio afín tangente y $T(X,Y)$ es la dos formas de torsión.

Por lo tanto, una dos-forma de torsión no evanescente significa que $DP$ no es cerrado y no existe una función puntual bien definida $P$ lo que nos permite elegir sistemáticamente los orígenes en los espacios afines tangentes.