En mis clases a veces hago un concurso sobre quién puede escribir el mayor número en diez símbolos. Casi nunca se plantea, pero me debato entre dos "mejores" respuestas: una pila de diez 9 (exponentes) o un 9 seguido de nueve símbolos factoriales. Ambos son indudablemente enormes, pero no he sido capaz de producir un argumento de que uno es más grande (seguramente no son iguales). Cualquier idea sobre cuál de estos dos números es más grande sería muy apreciada.
Respuestas
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$n!$ crece más rápidamente que $9^n$ (crece aproximadamente con $n^n$ ), por lo que finalmente gana; de hecho, unos momentos con Wolfram Alpha sugieren que para todo $n\gt 21$ , $n! \gt 9^n$ . Esto significa que la mejor solución es mixta: después de la primera exponenciación (ya que $9^9$ es mayor que $9!$ ), es mejor utilizar los factoriales, dando la respuesta $9^9!!!!!!!!$ . (Además, nótese que todos estamos asumiendo que los paréntesis correctos aquí son implícitos, ya que hay una gran diferencia entre $\left(9^9\right)^9$ y $9^{\left(9^9\right)}$ .)
Por otra parte, si se le permite utilizar una notación matemática más o menos común, tal vez quiera echar un vistazo a La notación de flechas de Knuth ; $9\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow9$ es mayor, con diferencia, que el resto de estos. (Y en las matemáticas han surgido números aún mayores que éste; echa un vistazo, por ejemplo, a Número de Graham que utiliza más convenientemente la notación de flecha en su definición).
EDITAR: De hecho, es bastante sencillo demostrar que la respuesta del primer párrafo, $9^9!!!!!!!!$ es lo mejor que se puede hacer (con estas operaciones). En primer lugar, mientras $a$ es de al menos dos símbolos (para este grupo de símbolos), entonces $a^9 \lt 9^a\lt a!$ por lo que añadir un símbolo de factorial siempre será mejor que añadir un $9$ en su torre. Pero ¿qué pasa con las estructuras como $9!^{9!}$ ? Bueno, si ambos $a$ y $b$ tienen al menos dos símbolos, entonces $a^b\lt \mathrm{max}(a,b)!!$ Asumiendo por el momento que $b$ es mayor (porque si $a$ fueran mayores, entonces $b^a\gt a^b$ ), entonces $b! \approx b^b$ y aunque esto no es suficiente para asegurar que es mayor que $a^b$ (considere el caso de que $a$ = $b$ = $9!$ ), está lo suficientemente cerca como para que puede estar seguro de que tomar un segundo factorial será más grande - así que esos símbolos extra que gastaste en la exponenciación deberían retroactivamente haberse convertido en más signos de exclamación, y esto es suficiente para garantizar que $9^9!!!!!!!!$ es la mayor combinación posible de estas operaciones particulares.
Shabaz
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403
Wolfram Alpha muestra $$9^{9^9}\approx 10^{10^{8.56}}$$ mientras que $$(9!)! \approx 10^{10^{6.26}}$$ Añadiendo otro carácter se añade otro 10 al fondo de la pila sin cambiar mucho el exponente superior. Incluso hará la pila completa de 10. Los exponentes tienen 8,5678 encima de la torre de 10, mientras que los factoriales tienen 6,26949. Así que los exponentes ganan.
Añadido: En la columna de Douglas Hofstadter de mayo de 1982 "On Number Numbness" declara que son esencialmente iguales. Para números de este tamaño, lo primero que hay que mirar es cuántas veces hay que coger un tronco para que sea razonable, que es 9 para ambos. Luego mira el número de la parte superior de la pila, que es el único que importa. Así que es como 9,85678 comparado con 9,626949, que están muy cerca.
tooshel
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Un estudio exhaustivo de esta cuestión se ofrece en el artículo " Exponencial vs. Factorial "de Velleman ( Boletín Mensual de Matemáticas de Estados Unidos Vol. 113, nº 8, oct. 2006, pp. 689-704). En el ejemplo motivador hay 5 caracteres en lugar de 10. Por supuesto, la conclusión es la misma que en la respuesta de Steven Stadnicki, que $9^9!!!!!!!!$ (o $9^9!!!$ en el caso de 5 caracteres) es el mayor posible.
El artículo también aborda su pregunta original, demostrando que la torre exponencial de $n$ $9$ s es siempre mayor que a $9$ con $n-1$ factoriales aplicados (y muchos más enunciados generales).
IBr
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Me parece bastante triste que ninguna de las respuestas haya demostrado formalmente que
$$9^{9^{9^{9^{9^{9^{9^{9^{9^9}}}}}}}} > 9!!!!!!!!!$$
El proceso es un poco largo, pero en mi opinión merece la pena. En primer lugar, un simple cálculo muestra $9! < 9^8$ . Entonces $9!! < (9^8)^{9^8} = 9^{8\cdot9^8}$ . Entonces $$9!!!< \left(9^{8\cdot9^8}\right)^{9^{8\cdot9^8}} < \left(9^{9^9}\right)^{9^{8\cdot9^8}}=9^{9^{8\cdot9^8}\cdot9^9}=9^{9^{8\cdot9^8+9}}$$
$$9!!!! < \left(9^{9^{9^9}}\right)^{9^{9^{8\cdot9^8+9}}}=9^{9^{9^{8\cdot9^8+9}}\cdot 9^{9^9}}=9^{9^{9^{8\cdot9^8+9}+9^9}}<9^{9^{9^{8\cdot9^8+10}}}$$
Ahora, algo de notación. Utilicemos $f(x)$ para $9^x$ y $f^k(x)=f(f(... f(f(x))...))$ . Dejemos que $x!^k$ denotan $x!!!...!!!$ con $k$ factoriales.
Claramente, $f(x)+1<f(x+1)$ . Por inducción, $f^t(x)+1<f^t(x+1)$ para cualquier $t$ .
Ahora procedemos por inducción para demostrar que $9!^k < f^{k-1}(8\cdot9^8+k+6)$ . El caso base se ha dado anteriormente. Supongamos que $4 \leq k \leq 9^8-7$ .
$$9!^{k+1} < \left(f^{k-1}(8\cdot9^8+k+6)\right)^{f^{k-1}(8\cdot9^8+k+6)}= 9^{f^{k-2}(8\cdot9^8+k+6)f^{k-1}(8\cdot9^8+k+6)}<9^{9^{f^{k-3}(9^9)+f^{k-2}(8\cdot9^8+k+6)}}<9^{9^{9\cdot f^{k-2}(8\cdot9^8+k+6)}}<9^{9^{9^{f^{k-3}(8\cdot9^8+k+6)+1}}}<9^{9^{9^{f^{k-3}(8\cdot9^8+k+7)}}}=f^k(8\cdot9^8+k+7)$$
Esto completa la hipótesis de inducción. Por lo tanto, hemos demostrado la pregunta.
Ahora un poco de diversión: El número más grande usando diez símbolos. También podemos utilizar la notación abreviada de flecha hacia arriba de Knuth, $9 \uparrow^{9 \uparrow^{9 \uparrow^{9} 9} 9} 9$ tiene diez símbolos.
Notación de flechas encadenadas de Conway, $9 \rightarrow 9 \rightarrow 9 \rightarrow 9 \rightarrow 9^9$ .
La función sigma de Rado, $\Sigma(\Sigma(\Sigma(9)))$ .
