Definir una métrica en $G_\delta$ conjunto que lo hace completo

Question

Un subconjunto $A$ es un $G_{\delta}$ subconjunto si $A=\bigcap_{1}^{\infty} G_i$ es una intersección contable de conjuntos abiertos $\{ G_i \}$ . Demuestre que en el espacio métrico $(X,d)$ todo conjunto cerrado es un $G_\delta$ conjunto. Si $A$ es un $G_\delta$ subconjunto de un espacio métrico completo $(X,d)$ muestran que hay una métrica $D$ en $A$ que induce la misma convergencia que $d$ en $A$ pero $(A,D)$ está completo.

Para la primera parte de la pregunta, tomo un conjunto cerrado $C$ , defina $d(x,C)=\inf\{d(x,b):b\in C\}$ , entonces dejemos que $G_k=\{x\in X: d(x,C)<\frac{1}{k}\}$ , demuestre que $G_k$ está abierto y $C=\bigcap G_k$ . Pero a la segunda parte, realmente no sé por dónde empezar. Mi profesor mostró en sus notas de clase que, si $O$ es un conjunto abierto en $(X,d)$ , defina $D(x,y)=d(x,y)+|\frac{1}{d(x,O^C)}-\frac{1}{d(y,O^C)}|$ entonces $(O,D)$ está completo. Entiendo que esto funcione. Pero en un $G_\delta$ set $A$ , $A$ podría ser cerrado, y tengo dificultades para definir la métrica en el límite. He intentado $D(x,y)=\begin{cases} d(x,y)+|\frac{1}{d(x,O^C)}-\frac{1}{d(y,O^C)}| &\quad d(x,O^C)\cdot d(y,O^C) \neq 0\\d(x,y) &\quad otherwise \end{cases}$ pero parece fallar que no satisface la desigualdad triangular. ¿Alguna pista para esto? Gracias.

Answer 1

Es de suponer que usted sabe cómo definir una métrica en un producto de espacios métricos contables (no vacíos) que induce la topología del producto, y que hace que el producto sea un espacio métrico completo si todos los factores son completos.

Así, si tenemos un $G_{\delta}$ set

$$A = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} O_n,$$

ya que sabe cómo definir una métrica en cada $O_n$ que lo hace completo e induce la topología del subespacio, se puede definir una métrica $d_P$ en

$$P = \prod_{n\in \mathbb{N}} O_n$$

que induce la topología del producto y hace que $P$ completa. La topología del producto en $P$ coincide con la topología del subespacio inducido de $X^{\mathbb{N}}$ . En $X^{\mathbb{N}}$ consideramos la diagonal

$$\Delta = \bigl\{ f \in X^{\mathbb{N}} : \bigl(\forall k,n\bigr)\bigl(f(k) = f(n)\bigr)\bigr\}.$$

$\Delta$ se ve fácilmente que está cerrado en $X^{\mathbb{N}}$ Por lo tanto

$$B = P \cap \Delta$$

es un subespacio (relativamente) cerrado de $P$ . Por lo tanto, $(B,d_P\lvert_{B\times B})$ es un espacio métrico completo.

Ahora, observe que el mapa diagonal $\delta \colon x \mapsto c_x$ , donde $c_x(n) = x$ para todos $n\in \mathbb{N}$ es un homeomorfismo entre $A$ y $B$ . Por lo tanto, $d_A \colon (x,y) \mapsto d_P(\delta(x),\delta(y))$ es una métrica en $A$ que induce la topología del subespacio, y hace que $A$ completa.

Answer 2

Para ampliar la idea de tu profesor:

Dejemos que $Y = \cap_n O_n$ ser un $G_\delta$ en $(X,d)$ y definir como la nueva métrica

$$\rho(x,y) = d(x,y) + \sum_n \frac{1}{2^n}\min(|\frac{1}{d(x, X\setminus O_n)} - \frac{1}{d(y, X\setminus O_n)}|, 1), x,y \in Y$$

y mostrar que está completo usando la idea de Daniel. El $\frac{1}{2^n}$ y $\min(.,1)$ es garantizar la convergencia de la serie. Esencialmente, incrustamos $X$ como subconjunto cerrado de $X \times \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ utilizando los mapas $f_n: x \to \frac{1}{d(x,X\setminus O_n)}$ .

Answer 3

He aquí un esbozo de la prueba de mis nuevas ideas:

Si $A=\bigcap_{j=1}^{\infty}G_j$ definan la métrica

$$D(x,y)=d(x,y)+\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^j}\frac{\left|\frac{1}{d(x,G_j^C)}-\frac{1}{d(y,G_j^C)}\right|}{1+\left|\frac{1}{d(x,G_j^C)}-\frac{1}{d(y,G_j^C)}\right|}$$

Necesidad de demostrar que $(A,D)$ está completo.

En $A$ , $D$ y $d$ son equivalentes, ya que si $x_n\to x$ y $x_n$ , $x\in G_j$ por cada $j$ , $$\left|\frac{1}{d(x,G_j^C)}-\frac{1}{d(y,G_j^C)}\right|\to 0$$

entonces $D(x_n,x)\to 0$ . Si $D(x_n,x_m)\to 0$ ya que $d(x_n,x)\to 0$ y $d(x,G_j^C)>0$ por cada $j$ Esto implica $x\in\bigcap_{j=1}^{\infty}G_j=A$ .