suma de elementos con valor distinto en el anillo de valoración

Question

En el anillo de valoración $R$ , esperaba que

la suma de un número finito de elementos de R con valores diferentes no puede ser cero.

¿Es esto correcto? Si es correcto, por favor dame una prueba, y si es incorrecto, por favor dame un contraejemplo. Esta es una pregunta que me surgió cuando estudiaba las curvas elípticas.

Answer 1

¿Qué quiere decir con valor diferente? Si quiere decir que los valores de la valoración, digamos $\nu$ de estos elementos son diferentes entonces es correcto. Podemos reducir fácilmente al caso de dos elementos.

Dejemos que $x_1, \ldots, x_n \in R$ tal que $\nu(x_i) \not = \nu(x_j)$ para todos los distintos $i, j \in \{1, \ldots, n\}$ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $i < j$ implica $\nu(x_i) < \nu(x_j)$ . Pero $$\nu(x_2+\ldots+x_{n}) \geqslant \min_{j=2..n} \nu(x_j) \geqslant \nu(x_2) > \nu(x_1).$$ Si $x_1 + \cdots + x_n = 0$ entonces $\nu(x_1) = \nu(-x_2-\cdots-x_n) = \nu(x_2 + \cdots + x_n)$ .