Extraña ecuación funcional: $f(x)+f(\cos(x))=x$

Question

ANTECEDENTES: Hace un tiempo, me obsesioné durante un tiempo con la siguiente ecuación funcional: $$f(x)+f(\cos(x))=x$$ Sólo estoy considerando la única solución analítica real de esta ecuación funcional (efectivamente es única... todas las derivadas de $f$ en $w\approx 0.739$ El Número Dottie se puede determinar diferenciando esta ecuación repetidamente). Aquí está la gráfica de la función:

Ya me había dado por vencido hace tiempo cuando por casualidad me encontré hoy con mis apuntes sobre este problema, y se me ocurrió ponerlo un MSE para ver si alguien encuentra algo interesante que se me haya pasado.

LO QUE ENCONTRÉ: Estoy casi absolutamente seguro de que no existe una forma cerrada agradable para esta función, así que recurrí a la búsqueda de valores especiales y otras ecuaciones funcionales más ordenadas. Hasta ahora, he encontrado los siguientes valores especiales de $f$ y sus derivados: $$f(w)=w/2$$ $$f'(w)=\frac{1}{1-\sqrt{1-w^2}}$$ $$f''(w)=\frac{1}{2-w^2}\frac{w}{1-\sqrt{1-w^2}}$$ $$f'(0)=1$$ $$f'(\pi/2)=2$$ $$f'(-\pi/2)=0$$ Aquí hay algunas ecuaciones funcionales que he encontrado para $f$ : $$f(x+2\pi)-f(x)=2\pi$$ $$f(x+\pi)-f(x)=2\cos(x)+\pi$$ $$f(x)-f(-x)=2x$$ Y aquí hay una representación de la serie para $f$ , donde $\cos^{\circ n}$ representa la función coseno compuesta $n$ tiempos: $$f(x)=\frac{w}{2}+\sum_{n=0}^\infty \big(\cos^{\circ 2n}(x)-\cos^{\circ 2n+1}(x)\big)$$

PREGUNTAS: Esta es una pregunta muy abierta. Tengo algunas conjeturas no probadas o preguntas particulares sin respuesta sobre esta función, pero realmente sólo quiero ver qué propiedades interesantes (especialmente valores especiales, ceros, máximos o mínimos, puntos de inflexión y ecuaciones funcionales o diferenciales) puede encontrar la gente.

Un ejemplo de una de mis conjeturas: observando los gráficos, he conjeturado que $f(x+a)-f(x)$ es una sinusoide o una suma de sinusoides para todo $a$ . Es fácil demostrar que debe ser periódica, pero me gustaría demostrar o refutar que se puede expresar como una suma de sinusoides. En particular, ¿podemos encontrar una expresión para $f(x+\pi/2)-f(x)$ como una suma de sinusoides, posiblemente con otras constantes matemáticas como $w$ ? Aquí hay un gráfico de $f(x+\pi/2)-f(x)$ :

Agradezco cualquier contribución.

Answer 1

Ecuaciones funcionales (F) -

1. $f(x) + f(cos(x)) = x$ [Ecuación original]
2. $f(-x)+f(cos(x))+x=0$ [ De (F $1$ ) ]
3. $f(x)+f(-x)+2f(cos(x))=0$ [ De (F $1$ ) y (F $2$ ) ]
4. $f(x)-f(-x)=2x$ [ De (F $1$ ) y (F $2$ ), Encontrado por OP ]
5. $f(x+\pi)-f(x)=2cos(x)+\pi$ [ De F $1$ , Encontrado por el OP ]
6. $f(cos^{-1}(x))+f(x)=cos^{-1}(x)$ [ De F $1$ ]
7. $f(x)=f(x+2n\pi)-2n\pi, n\in \mathbb{Z}$ [ Derivado a continuación, D $1$ ]
8. $f(x)=x+\{ f(x+(2n+1)\pi ) + (x+(2n+1)\pi )\}, n\in \mathbb{Z} $ [ Derivado a continuación, D $2$ ]
9. $f'(x)+f'(-x)=2$ [ De F $4$ ]
10. $f''(x)=f''(-x)$ [ De F $9$ ]
11. $f'(x)-sin(x)\cdot f'(cos(x))=1 \Leftrightarrow f'(cos(x)={{(f'(x)-1)}\over {sinx}}$ [ De F $1$ ]
12. $f''(x)+sin^{2}(x)\cdot f''(cos(x))=cos(x)\cdot f'(cos(x)) ={{(f'(x)-1)}\over {sin(x)}}\cdot cos(x)$ [ De F $11$ ] $\Leftrightarrow sin(x)\cdot f''(x)-cos(x)\cdot f'(x)+sin^{3}(x)\cdot f''(cos(x))+cos(x)=0$

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Valores especiales y sus relaciones (V) -

(Derivado de varios F) -

1. $f(w)=w/2$ [Encontrado por el OP]
2. $f'(w)=\frac{1}{1-\sqrt{1-w^2}}$ [Encontrado por el OP]
3. $f''(w)=\frac{1}{2-w^2}\frac{w}{1-\sqrt{1-w^2}}$ [Encontrado por el OP]
4. $f'(0)=1$ [Encontrado por el OP]
5. $f'(\pi /2)=2$ [Encontrado por el OP]
6. $f'(-\pi /2)=0$ [Encontrado por el OP]
7. $f(0)+f(1)=0$
8. $f(\pi )-\pi = f(0)+2$
9. $f(2\pi )- f(\pi)=\pi -2$
10. $f(2\pi)=f(0)+2\pi =2\pi - f(1)$

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Soluciones de ecuaciones funcionales (S) -

Me limitaré a la solución s de F $1$ y F $4$ .

1. Solución de F $4$ -

Desde F $10$ vemos que cualquier función par, $e(x)=f''(x)$ llevaría a

$f(x)=\int (\int e(x) dx) dx +c_1\cdot x + c_2$ la solución requerida.

Dado que la integración de una función par es impar y viceversa, la doble integral anterior produce una función par, dando - $f(x)=e(x)+c_1\cdot x + c_2$ .

Podemos generalizar lo anterior a -

$f(x) = \Sigma (c_i \cdot e_i(x)) + x + c$ , donde $e_i$ es una función par

Ejemplo:

$ f_n(x)= c_0 . (\Sigma_{i=1}^{n}a_ix^{2i})(1+\vert x \vert ) +x +c $

Además, como el módulo de una función impar es una función par, podemos definir

$E(x)=\Sigma (e_i(x))) + \Sigma (\vert o_i(x)\vert )$ , donde $o_i$ son funciones impar, $e_i$ son funciones pares, excepto las que se obtienen a partir de funciones Impares tomando su módulo y la suma es sobre todas las funciones posibles.Esto dará como resultado -

$f(x) = E(x) + c_1\cdot x +c$

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Derivación (D)-

1. Utilizando, $f(cos(x)=x-f(x) and cos (x+2n\pi)=cos(x)$

Lo tenemos, $x-f(x) = (x+2n\pi ) - f(x+2n\pi )$

El resultado se desprende de la simplificación.

2. Utilizando, $f(cos(x)=x-f(x) and cos (x+(2n+1)\pi)=-cos(x)$

Lo tenemos, $x-f(x) = f(x+(2n+1)\pi ) - (x+(2n+1)\pi )$

El resultado se desprende de la simplificación.