Encuentra el radio de convergencia de la serie $y=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{p}{n} x^{n}$

Question

Dejemos que $p\in R$ Encuentra el radio de convergencia de la serie:

$$y=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{p}{n} x^{n}$$

Demuestre que y satisface la ecuación diferencial $(1+x)y'=py$ y la condición inicial $y(0)=1$

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No estoy seguro de si esta pregunta se ha hecho, pero he buscado y no he podido encontrarla. Así que sé que el radio de convergencia es el radio del disco más grande en el que converge la serie. Estoy confundido por este problema en general y no estoy seguro de por dónde empezar. Estoy buscando una solución y explicación clara a este problema.

Answer 1

No es más que la generalización de la serie binomial habitual: $$ f(x)=\sum_{n\geq 0}\binom{p}{n} x^n = (x+1)^p.\tag{1} $$ $(1+x)\,f'=p\,f$ es una EDO separable, y $\frac{f'}{f}=\frac{p}{x+1}$ da que $x=-1$ es una singularidad para $f(x)$ .

Es la singularidad más cercana al origen, de ahí que el radio de convergencia de $(1)$ es sólo $\color{red}{1}$ .

Answer 2

Para encontrar el radio de convergencia se puede utilizar la prueba de la proporción. Consideremos una serie de potencias $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$

Se puede encontrar el radio de convergencia $R$ utilizando la fórmula simplificada:

$$R = \lim_{n \to \infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}}=\lim_{n \to \infty}|\frac{\frac{p!}{n!(n-p)!}}{\frac{p!}{(n+1)!(p-n-1)!}}|=\lim_{n \to \infty}|\frac{n+1}{p-n}|=1$$

Como $p \in R$ estamos utilizando la función gamma como representación del factorial.

Answer 3

$$\sum_{n=0}^\infty \binom{p}{n}x^n=\sum_{k=1}^p\binom{p}{k}x^k=(1+x)^p$$ para todos $x$ . Por lo tanto, el radio de convergencia es $\mathbb R$ .