Criterios de la métrica en un conjunto

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto y $d: X \times X \to X$ sea una función tal que $d(a,b)=0$ si y sólo si $a=b$ .

Supongamos además que $d(a,b) d(z,a)+d(z,b)$ para todos $a,b,z \in X$ .

Demostrar que $d$ es una métrica en $X$ .

Answer 1

Dejemos que $X$ sea un conjunto y $d: X \times X \to X$ sea una función tal que $$d(a,b)=0\text{ if and only if}\;\; a=b,\text{ and}\tag{1}$$ $$d(a,b) ≤ d(z,a)+d(z,b)\forall a,b,z \in X.\tag{2}$$

Hay un criterio adicional que debe cumplirse para una función $d$ para ser una métrica en $X$ :

• Debes tener ese $d(a, b) = d(b,a)$ para todos $a, b \in X$ (simetría).

  Puedes utilizar las dos propiedades que te han dado para demostrarlo.

  $d(a,b)\leq d(b,a)+d(b,b)= d(b, a) + 0 = d(b,a)$ y viceversa, por lo que obtenemos la igualdad.

• Habiendo comprobado la simetría, tendrás entonces que

  $d(a,b) \leq d(z,a) + d(z, b) \iff d(a, b) \leq d(a, z) + d(z, b)$ .

• Por último, utilizando la propiedad inmediatamente anterior, junto con el $(1)$ se puede establecer que para todos $a, b\in X$ tal que $a\neq b$ Debemos tener $d(a, b) > 0$ .

Entonces, has terminado.

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Answer 2

La primera condición de una métrica es $d(a,b)\geq 0$ con igualdad si y sólo si $a=b$ . Obviamente, esta última parte se cumple por hipótesis. Para demostrar que es mayor que cero en caso contrario, basta con observar $0=d(b,b)<d(a,b)+d(a,b)$ . Por tanto, se cumple la primera condición.

A continuación, queremos mostrar $d(a,b)=d(b,a)$ . Sin embargo, esto está claro, ya que $d(a,b)\leq d(b,a)+d(b,b)=d(b,a)$ y viceversa, por lo que obtenemos la igualdad.

Finalmente, tu última hipótesis es precisamente la desigualdad del triángulo. Por lo tanto, $d$ es una métrica.

Answer 3

Esta debe ser la métrica discreta. 1) La primera condición se deduce por definición que d(a,b)=0 si a=b; 2) Simetría: esto es trivial, porque si a=b se tiene d(a,b)=0 y b=a da d(b,a)=0; 3) La desigualdad del triángulo: a partir de la simetría se puede escribir d(z,a)=d(a,z). Considera dos casos: - si a=b, claro - si a no es igual a b, entonces o a no es igual a z o z no es igual a b. Ahí tienes $1\leqslant 1$ o $1\leqslant 2$ .