Demostrar que $$x\mathcal{R}y\iff x^2-y^2=2(y-x)$$ es una relación de equivalencia.
Reflexivo. Para todos $x$ tenemos $x^2-x^2=2(x-x)$ Así que $x\mathcal{R}x$ .
Simétrico. Para todos $x,y$ tenemos \begin{align}x\mathcal{R}y&\implies x^2-y^2=2(y-x)\\&\implies(-1)(x^2-y^2)=(-1)2(y-x)\\&\implies y^2-x^2=2(x-y)\\&\implies y\mathcal{R}x.\end{align}
Transitivo. Para todos $x,y,z$ tenemos $$\begin{cases}x\mathcal{R}y\\y\mathcal{R}z\end{cases}\implies\begin{cases}x^2-y^2=2(y-x)\\y^2-z^2=2(z-y)\end{cases}\implies x^2-y^2+y^2-z^2=2(y-x)+2(z-y),$$ así que $$x^2-z^2=2(y-x+z-y)=2(z-x)\implies x\mathcal{R}z.$$
¿Es correcto?
