suma de una serie geométrica infinita

Question

Si tenemos una serie que comienza en 1 y seguimos sumando la mitad del término anterior y tomamos una cantidad infinita de términos

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...$$

Entiendo cómo podemos decir que el límite de la suma de esta serie se aproxima a 2 (ya que puedo hacer que la suma se acerque tanto a dos como quiera tomando al menos $n$ número de términos), pero ¿es correcto decir que

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...=2$$

Y si es así, ¿cómo puede ser? Al fin y al cabo, si sigo tomando la mitad de la distancia que queda entre la suma y el 2, aunque la distancia se haga infinitesimalmente pequeña, seguiré sin llegar al 2...

Answer 1

No se puede añadir literalmente una colección infinita de términos. Lo que "la suma de la serie" significa es el límite de las sumas parciales a medida que el número de términos llega a $\infty$ .

Answer 2

En general, la notación

$$1 + \frac 1 2 + \frac 1 4 + ...$$

se utiliza para denotar la cantidad

$$\lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k = 1}^n \frac 1 {2^k}$$

que es, de hecho, igual a $2$ . Tenga en cuenta que el límite es realmente el número $2$ no sólo acercarse a ella; el secuencia se acerca $2$ .

Answer 3

Esta es otra forma de verlo, tienes la relación $x = 1+\frac{1}{2} x$ . Resolver para $x$ da $x=2$ .

Answer 4

Si se duplica la serie, se puede demostrar que $2x-x=x$ Al notar que es

$$ 2+1+\frac 12 + \frac 14 + \frac 18 + \cdots - (1 + \frac 12 + \frac 14 + \frac 18 \cdots)$$

Todos los términos desaparecen, excepto el principal $2$ .