Demostrar la igualdad de los determinantes

Question

Me encuentro con problemas en la tarea de álgebra lineal que parece fácil.

Dejemos que $A, B, C, D$ ser cuadrado $n\times n$ matrices tales que $C\cdot D^T = D\cdot C^T$ . Demostrar que $\begin{vmatrix}A & B\\ C & D \end{vmatrix} = \vert A\cdot D^T - B\cdot C^T\vert$ .

En efecto, para las matrices cuadradas tenemos $\begin{vmatrix}A & B\\ C & D \end{vmatrix} = \vert AD - BC \vert$ Pero, ¿cómo seguir adelante? He intentado conectar $D = C D^T (C^T)^{-1}$ y $C = DC^T(D^T)^{-1}$ en esto, pero no fue capaz de simplificarlo a la forma deseada, aunque parece la única forma directa.

Answer 1

En la línea 4, su igualdad es absolutamente falsa, excepto cuando $A,B,C,D$ conmutar. Deja que $U=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ .

Caso 1. $A,D$ son invertibles. Entonces $\det(U)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)$

Véase. https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant

$\det(U)=\det(AD)\det(I-(D^{-1}C)A^{-1}B)$ . Aquí $D^{-1}C=C^TD^{-T}$ .

$\det(U)=\det(AD^T)\det(I-C^T(D^{-T}A^{-1}B))=\det(AD^T)\det(I-(D^{-T}A^{-1}B)C^T)$ .

Finalmente $\det(U)=\det(AD^T-BC^T)$ .

Caso 2. $A$ o $D$ no es invertible. Se procede por continuidad.