¿Por qué cada categoría en la que existen todos los límites y colímites (incluso los grandes) es delgada?

Question

La página wiki sobre categoría completa estados:

La existencia de todo (incluso cuando J es una clase propia) es demasiado fuerte para ser relevante en la práctica. Cualquier categoría con esta propiedad es necesariamente una categoría fina: para dos objetos cualesquiera puede haber como máximo un morfismo de un objeto a otro.

¿Por qué? ¿Podemos interpretar cualquier objeto de dicha categoría como un candidato a límite de algún diagrama grande?

(Además, ¿no es este pequeño hecho una buena motivación para preocuparse realmente por la distinción entre conjuntos y clases en la teoría de categorías? A menudo me he encontrado con la actitud de "Sí, no nos importan las clases o los conjuntos, sólo hay que pensar en todas esas cosas como colecciones" - ¿debería desechar esa actitud?)

Answer 1

Dejemos que $C$ sea una categoría con todos los límites (grandes). Supongamos que hay dos morfismos $f,g : a \to b$ , $f \neq g$ . Si $J$ es una clase, entonces hay al menos $2^J$ morfismos $a \to b^J$ , donde $b^J := \prod_{j \in J} b$ . Aplicando esto a $J=\mathsf{Mor}(C)$ obtenemos una contradicción.

Y sí, esta es una de las razones por las que creo que es importante distinguir entre conjuntos y clases. En la teoría de las categorías a menudo es conveniente trabajar con universos, a veces incluso más contenidos entre sí. Esto permite trabajar con "niveles" arbitrarios de amplitud.

Answer 2

No tengo suficiente reputación para comentar, pero sólo quería decir que este hecho se debe a Freyd. Quizás también te interese el siguiente pequeño artículo.

• Michael Shulman, Teoría de conjuntos para la teoría de categorías , arXiv:0810.1279 .