Encontrar el valor de $\lim_{x \to 0}\frac{\log(5+x)-\log(5-x)}{x}$

Question

Me gustaría obtener $$ \lim_{x \to 0}\frac{\log(5+x)-\log(5-x)}{x}. $$

Answer 1

Sugerencia . Se puede escribir, como $x \to 0$ , $$ \frac{\log(5+x)-\log(5-x)}{x}=\frac{\log(5+x)-\log(5)}{x}-\frac{\log(5-x)-\log(5)}{x}. $$ Entonces se puede utilizar $$ \left[\log(u)\right]'=\frac{u'}u. $$

Answer 2

$\frac{\log(5+x)-\log(5-x)}{x}=\log (\frac{5+x}{5-x})^{\frac 1 x}=\log (\frac{5+x}{5-x})^{\frac 1 x}$ .

Ahora usa el límite de Euler $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac 1 x}=e$

Answer 3

Obsérvese que el límite puede escribirse como $$ 2\lim_{h \to 0}\frac{f(5+h)-f(5-h)}{2h} $$ donde $f(x)=\log(x)$ que es el doble del valor del derivada simétrica de $f$ en $5$ . Desde $\log$ es diferenciable en este punto su derivada simétrica coincide con la derivada ordinaria en este punto. Por tanto, el límite es $$ 2f'(5)=\frac{2}{5}. $$

Answer 4

Pista: Utilizando las reglas de multiplicación de $\ln$ , saque un factor de $5$ de cada término de los logaritmos. A continuación, utiliza la serie de MacLaurin para $\ln(1+\tfrac{x}{5})$ , $\ln(1-\tfrac{x}{5})$ cerca de $x=0$ .

Answer 5

Esta es la derivada en $0$ de $$ f(x)=\log(5+x)-\log(5-x) $$

Si necesita reducir el cómputo a los "límites básicos" (es decir, sin l'Hôpital), sustituya $x=5t$ , por lo que se obtiene $$ \lim_{t\to0} \frac{\log(1+t)+\log 5-\log(1-t)-\log 5}{5t}= \frac{1}{5}\lim_{t\to0}\frac{\log(1+t)}{t}- \frac{1}{5}\lim_{t\to0}\frac{\log(1-t)}{t} $$