Convolución y analiticidad

Question

Supongamos que $f$ y $g$ son continuos y están relacionados entre sí como $$ f(x) = \int _{0}^{x-1} \Big ( (x- y)^2 - 1\Big )^{3/2}g(y) \, dy, \qquad x>1. $$

Si por casualidad sabemos que $f$ es analítica real en algún punto $x_0$ podemos deducir que hay un punto $\phi (x_0)$ donde $g$ ¿es realmente analítico? (Sospecho que $\phi (x_0)$ debería ser uno de los puntos $x_0 \pm 1$ .)

También me interesan mucho las respuestas incompletas, como las posibles formas de demostrarlo.

Answer 1

La función $f$ no es analítico. En efecto, al establecer \begin{eqnarray} \eta(u_1,u_2)&=&\Big[(u_1-u_2)^2-1\Big]^{3/2},\\ \Psi(u_1,u_2)&=&\int_0^{u_2}\eta(u_1,t)g(t)\ dt, \end{eqnarray} tenemos $$ f(x)=\Psi(x,x-1). $$ De ello se desprende que \begin{eqnarray} f'(x)&=&\partial_1\Psi(x,x-1)+\partial_2\Psi(x,x-1)=\int_0^{x-1}\partial_1\eta(x,t)g(t)\ dt+\eta(x,x-1)g(x-1)\\ &=&\int_0^{x-1}\partial_1\eta(x,t)g(t)\ dt=3\int_0^{x-1}(x-t)\sqrt{(x-t)^2-1}\ g(t)\ dt;\\ f^{(2)}(x)&=&\int_0^{x-1}\partial_1^2\eta(x,t)g(t)\ dt+\partial_1\eta(x,x-1)g(x-1)\\ &=&\int_0^{x-1}\partial_1^2\eta(x,t)g(t)\ dt=3\int_0^{x-1}\frac{2(u_1-t)^2-1}{\sqrt{(u_1-t)^2-1}}g(t)\ dt. \end{eqnarray} Desde $$ \lim_{t \to x-1}|\partial_1^2\eta(x,t)g(t)|=\infty $$ está claro que $f^{(3)}(x)$ no existe. Así, $f$ no es analítico.

Answer 2

La ecuación integral puede escribirse como

$$ f(x+1) = \int _{0}^{x} \Big ( (x+1- t)^2 - 1\Big )^{3/2} g(t) \, dt$$

$$ = \int _{0}^{x} \Big( ((x-t)+1)^2 - 1\Big )^{3/2}g(t) \, dt, $$

$$\implies f(x+1) = \int _{0}^{x} \Big( (x-t)^2+2(x-t) \Big )^{3/2}g(t) \, dt, $$

Ahora, el lado derecho es una convolución de dos funciones. Puedes probar la técnica de la transformada de Laplace para resolver las ecuaciones integrales. Además, la ecuación integral anterior se conoce como ecuación integral de Volterra( sólo hay que dejar que $f(x+1)=h(x)$ ) del primer tipo. Las soluciones de algunas ecuaciones de Volterra del primer tipo se pueden encontrar aquí .