Crecimiento de una secuencia lineal recurrente

Question

Consideremos la secuencia definida por $a_0=a_1=1$ y $a_n=2a_{n-1}-3a_{n-2}$ para $n\geq 2$ . Esta es la secuencia https://oeis.org/A087455 .

Me gustaría demostrar que $|a_n|>100$ cuando $n>10$ . ¿Cómo podemos hacerlo? (Además, ¿existe un límite inferior explícito no trivial para la secuencia $|a_n|$ ?)

Los primeros términos:

1, 1, -1, -5, -7, 1, 23, 43, 17, -95, -241, -197, 329, 1249, 1511, -725, -5983, -9791, -1633, 26107, 57113, 35905, -99529, -306773, -314959, 290401, 1525679, 2180155, -216727, -6973919, -13297657, -5673557, 28545857, 74112385, 62587199, -97162757, -382087111, -472685951, 200889431, 1819836715, 3037005137, 614500129, -7882015153, -17607530693, -11569015927, 29684560225, 94076168231, 99098655787, -84031193119, -465358353599, -678623127841, 38828805115, 2113526993753, 4110567572161, 1880554163063, -8570594390357, -22782851269903, -19853919368735, 28640715072239, 116843188250683, 147764231284649, -55001102182751, -553294898219449, -941586489890645, -223288285122943, 2378182899426049, 5426230654220927, 3717912610163707, -8842866742335367, -28839471315161855, -31150342403317609, 24217729138850347

Fórmulas explícitas:

$$\begin{align*}a_n&=\frac{(1+i\sqrt2)^n+(1-i\sqrt2)^n}{2}\\&=(\sqrt{3})^n\cdot \cos (n\cdot \theta)\end{align*}$$

donde $\theta=\tan^{−1}(\sqrt2)$ .

Gracias.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\frac{1+i\sqrt{2}}{1-i\sqrt{2}}\in\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ no es una raíz de la unidad, porque no es igual a $\pm 1$ . Por lo tanto, el famoso teorema de Baker muestra que, para alguna constante efectivamente computable $c>0$ , $$\left|\left(\frac{1+i\sqrt{2}}{1-i\sqrt{2}}\right)^m-1\right|>m^{-c},\qquad m\geq 2.\tag{$ * $}$$ (Las variables $m$ y $n$ son enteros en este puesto). Aplicando esto para $m=2n$ obtenemos $$\left|\left(\frac{1+i\sqrt{2}}{1-i\sqrt{2}}\right)^n-1\right|\cdot\left|\left(\frac{1+i\sqrt{2}}{1-i\sqrt{2}}\right)^n+1\right|>(2n)^{-c},\qquad n\geq 1.$$ El primer factor es menor que $2$ por lo que multiplicando ambos lados por el valor absoluto de $(1-i\sqrt{2})^n$ deducimos $$\Bigl|(1+i\sqrt{2})^n+(1-i\sqrt{2})^n\Bigr|>\frac{1}{2}\cdot\frac{3^{n/2}}{(2n)^c},\qquad n\geq 1.$$ Esto significa que la secuencia $(a_n)$ crece exponencialmente: $$ |a_n|>\frac{1}{4}\cdot\frac{3^{n/2}}{(2n)^c},\qquad n\geq 1.$$ En particular, sólo hay un número finito de $n$ 's con $|a_n|\leq 100$ y estos pueden ser efectivamente acotados. Entonces, hasta ese límite, se puede comprobar con un ordenador (al menos en teoría) qué $n$ 's satisfacer $|a_n|\leq 100$ .

Añadido. En ( $*$ ), el exponente $c=5\times 10^9$ es admisible por el Corolario 2.3 de Matveev: Un límite inferior explícito para una forma lineal racional homogénea en logaritmos de números algebraicos. II (Izv. Math. 64 (2000), 1217-1269). Esto significa que $|a_n|\leq 100$ implica $n<3\times 10^{11}$ .

Answer 2

Además de la técnica arquimédica del teorema de Baker en otra respuesta, este tipo de pregunta puede tratarse tanto cualitativa como cuantitativamente utilizando $p$ -métodos de la vida cotidiana. Esto fue ilustrado, para la secuencia que usted preguntó, en https://math.stackexchange.com/questions/873147/finding-non-negative-integers-m-such-that-1-sqrt-2m-has-real-part/873529 con la tarea de determinar cuándo $a_n = \pm 1$ . He escrito un relato de esto en otro $p$ -campo de la adicción en http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/strassmannapplication.pdf .