reescribir $\frac{\partial \theta}{\partial t}=k \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}$ como un DE con dos nuevas variables $q_1$ y $q_2$

Question

Me dan la ecuación diferencial: $$\frac{\partial \theta}{\partial t}=k \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}$$ Utilizar el cambio de variables $q_1(x,t) = \frac{x^2}{kt}$ y $q_2 (x,t)=\frac{\theta(x,t)\sqrt{kt}}{\theta_0}$ para reescribir la ecuación diferencial en términos de $q_1$ y $q_2$ .

Hice una pregunta similar a esta hace un par de días, pero con la ayuda de mi profesor llegué un poco más lejos y estoy tomando un enfoque diferente del problema ahora y por eso estoy publicando esta pregunta.

Ahora $$\frac{1}{\sqrt{kt}} = \frac{\sqrt{q_1}}{x}$$ $$\theta = \frac{q_2 \theta_0}{\sqrt{kt}}=\frac{q_2 \sqrt{q_1}}{x}\theta_0=\theta(q_1,q_2)$$

Hasta aquí todo bien pero no consigo dar el siguiente paso. Tengo que reescribir la ecuación diferencial original en términos de $q_1,q_2$ , entonces suponga que $q_2=f(q_1)$ y demostrar que $f$ satisface la EDO $$4q_1 \frac{\partial ^2f}{\partial q_1^2}+(q_1+2) \frac{\partial f}{\partial q_1}+\frac{f}{2}=0$$ Cada vez que intento reescribir la ecuación diferencial original termino con expresiones enormemente complicadas que son imposibles de simplificar y no conducen a la ecuación diferencial dada para $f$ en absoluto. Estoy seguro de que hay algún método o forma de solucionar esto pero realmente no encuentro. Si alguien pudiera ayudarme estaría muy agradecido porque llevo días atascado en esto. También me resulta extraño porque las otras preguntas de los deberes que me salieron las resolví bastante rápido después de trastear un poco. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Dejemos que $q_1=\dfrac{x^2}{kt},q_2=\dfrac{\theta\sqrt{kt}}{\theta_0}$ así tenemos: $$\frac{\partial q_1}{\partial x}=\frac{2x}{kt}\\\frac{\partial q_1}{\partial t}=-\frac{x^2}{kt^2}\\\frac{\partial q_2}{\partial x}=\frac{\sqrt{kt}}{\theta_0}\frac{\partial\theta}{\partial x}\\\frac{\partial q_2}{\partial t}=\frac{\sqrt{k}}{2\theta_0\sqrt{t}}\theta_0+\frac{\sqrt{kt}}{\theta_0}\frac{\partial\theta}{\partial t}$$ por lo tanto: $$\frac{\partial\theta}{\partial t}=\frac{\theta_0}{\sqrt{kt}}\left(\frac{\partial q_2}{\partial t}-\frac{\sqrt{k}}{2\theta_0\sqrt{t}}\theta\right)\\\frac{\partial\theta}{\partial x}=\frac{\theta_0}{\sqrt{kt}}\frac{\partial q_2}{\partial x}\\\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}=\frac{\theta_0}{\sqrt{kt}}\frac{\partial^2q_2}{\partial x^2}$$ Por lo tanto, sustituyendo en nuestra ecuación original tenemos: $$\frac{\theta_0}{\sqrt{kt}}\left(\frac{\partial q_2}{\partial t}-\frac{\theta\sqrt{k}}{2\theta_0\sqrt{t}}\right)=\frac{k\theta_0}{\sqrt{kt}}\frac{\partial^2q_2}{\partial x^2}\\\frac{\partial q_2}{\partial t}-\frac{\sqrt{k}}{2\theta_0\sqrt{t}}\theta=k\frac{\partial^2 q_2}{\partial x^2}$$ Ahora, fíjate en que tenemos $$\theta=\frac{\theta_0}{\sqrt{kt}}q_2\\\frac{\sqrt{k}}{2\theta_0\sqrt{t}}\theta=\frac1{2t}q_2$$ dándonos: $$\frac{\partial q_2}{\partial t}-\frac1{2t}q_2=k\frac{\partial^2 q_2}{\partial x^2}$$

¿Me sigues?

Answer 2

${\large% {\partial\theta \over \partial t} = k\, {\partial^{2}\theta \over \partial x^{2}}} $

$\large\tt\mbox{Scaling:}\ $ $\large\theta \to \alpha\,\theta\,,\quad x \to \beta\,x\,,\quad t \to \gamma\,t$

$$ \Longrightarrow\ {\beta^{2} \over \gamma}\,{\partial\theta \over \partial t} = k\, {\partial^{2}\theta \over \partial x^{2}} $$ La ecuación no cambia su forma siempre que $\beta = \sqrt{\vphantom{\large a}\gamma\,}\quad$ o/y $\quad{\beta x \over x} = \sqrt{\gamma t \over t\,}\quad$ o/y $\quad{\beta x \over \sqrt{\gamma t\,}} = {x \over \sqrt{\vphantom{\large A}t\,}}$ . Eso significa que el cambio $y = {x \over \sqrt{\vphantom{\large A}t\,}}$ debería "simplificar" la ecuación:

\begin{align} {\partial \over \partial t} &= {\partial y \over \partial t}\,{{\rm d} \over {\rm d}y} = -\,{x \over 2\,t^{3/2}}\,{{\rm d} \over {\rm d}y} = -\,{y \over 2\,t}\,{{\rm d} \over {\rm d}y} \\[3mm] {\partial \over \partial x} &= {\partial y \over \partial x}\,{{\rm d} \over {\rm d}y} = {1 \over t^{1/2}}\,{{\rm d} \over {\rm d}y} \quad\Longrightarrow\quad {\partial^{2} \over \partial x^{2}} = {1 \over t}\,{{\rm d}^{2} \over {\rm d}y^{2}} \end{align}

La "nueva" ecuación viene dada por: $$ -\,{y \over 2t\,}{{\rm d}\theta \over {\rm d}y} = k\,{1 \over t}\,{{\rm d}^{2}\theta \over {\rm d}y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad k\,{{\rm d}^{2}\theta \over {\rm d}y^{2}} + {y \over 2\,}{{\rm d}\theta \over {\rm d}y} = 0 \quad\Longrightarrow\quad {{\rm d} \over {\rm d}y}\left(% {\rm e}^{y^{2}/2k^{2}}\,{{\rm d}\theta \over {\rm d}y} \right) = 0 $$

Entonces, $$ {{\rm d}\theta \over {\rm d}y} = A\,{\rm e}^{-y^{2}/2k^{2}}\,, \qquad (~A\quad \mbox{is independent of}\quad y~). $$

$$ \begin{array}{|c|}\hline\\ \color{#ff0000}{\large\quad% \theta\left(y\right) \color{#000000}{=} \theta\left(y_{0}\right) + A\int_{y_{0}}^{y}{\rm e}^{-y\,'^{2}/2k^{2}}\,{\rm d}y'\quad } \\ \\ \hline \end{array} $$