Velocidad de desaceleración del cuerpo en rotación debido a la fuerza de fricción

Question

Esta no es una pregunta de tarea, pero bien podría serlo. El problema al que he estado dando vueltas es:

Si un disco (o una rotonda para niños, si lo prefieres), de radio r y masa m, gira alrededor de su centro con una fuerza inicial F, y después existe la fuerza de fricción (del eje o de la resistencia del aire, o de ambos) de f, ¿cuánto tiempo tardará en detenerse?

He pensado en ello y se me ha ocurrido poco. Mi primera forma es la siguiente:

$F = ma$ Así que

$a = F/m$ la aceleración inicial ( o debería ser $(F-f)/m$ ?).

Y luego la desaceleración es $a = -f/m$ .

No estoy seguro de cómo calcular la velocidad lineal inicial, pero asumiendo que la tengo, $u$ , digamos, entonces podría decir que después del tiempo $t$ la velocidad es $v = u -at = u -ft/m$ donde f es la fuerza de fricción.

Entonces el disco dejaría de girar cuando $ t= um/f$ . Soy consciente de que esto es incorrecto (bueno, podría funcionar si se tratara de un movimiento lineal). De entrada, parece erróneo porque no tiene en cuenta el radio del disco y, además, la ralentización parece lineal, cuando de la observación se desprende que los discos en rotación se ralentizan y se estrechan hasta detenerse. Pero hasta ahí he llegado. He intentado utilizar ecuaciones de movimiento angular (bueno $\omega r = v$ ) pero estoy atascado en este punto, y por supuesto, encontrar la velocidad inicial.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Hay algunas complicaciones sutiles aquí.

1. Tienes las ideas correctas, pero necesitas la angular formas de todas estas variables y ecuaciones. Un objeto que gira tiene una velocidad angular $\omega$ . Su tendencia a resistirse al cambio en $\omega$ se conoce como su momento de inercia $I$ que Wikipedia nos dice es $mr^2/2$ si toda la masa está en un disco uniforme que gira alrededor de su eje de simetría. Par de apriete $\tau$ es la versión angular de la fuerza, y es básicamente la fuerza por la ventaja del brazo de palanca que la fuerza tiene dado que se está aplicando a cierta distancia fuera del eje. La segunda ley de Newton se convierte en $\tau = I \dot{\omega}$ .

2. Ahora hablas de una fuerza inicial $F$ . Para provocar un movimiento de rotación, esta fuerza debe aplicarse a una distancia no nula $d$ del eje de rotación deseado. Sólo la componente de $F$ perpendicular al eje de rotación y a la línea que va de este eje al punto de aplicación ayudará aquí, así que supongamos que toda la fuerza se aplica en esta dirección. Entonces esto puede describirse como un par de magnitud $Fd$ .

3. Sin embargo, un par inicial e instantáneo hace nada para mover el disco, al igual que cualquier fuerza lineal finita e instantánea no mueve un objeto. La fuerza debe aplicarse durante un tiempo prolongado. Una forma de ver esto es que el producto de la fuerza y la distancia sobre la que se aplica es la energía impartida - si nada se mueve durante la aplicación de la fuerza, no hay energía dada al objeto. En cambio, podemos hablar de una impulso . Si el momento angular es $L = I\omega$ entonces el momento angular inicial obedece a $L_0 = Fd\Delta t$ para una fuerza $F$ aplicado a distancia $d$ del eje, en la dirección adecuada, y sostenida durante un intervalo de tiempo $\Delta t$ . Claramente entonces la velocidad angular inicial es $$ \omega_o = \frac{2Fd\Delta t}{mr^2}. $$

4. Ahora llegamos a la parte de la ralentización. Esto es mucho más complicado. Un modelo demasiado simplificado tendría una fuerza constante $f$ aplicado a una distancia no nula $x$ del eje de rotación. A continuación, $$ \dot{\omega} = \frac{2fx}{mr^2} $$ (hasta un cartel). En este caso tendríamos algo como $\omega = \omega_0 - \dot{\omega}t$ , por lo que el tiempo total de giro sería $$ \frac{\omega_0}{\dot{\omega}} = \frac{Fd\Delta t}{fx}. $$

5. Por supuesto, la fricción puede depender de la velocidad. Además, es casi seguro que se aplica en un rango de distancias desde el eje. Esto último significa simplemente que el par total que actúa para frenar el disco debe calcularse integrando el par por unidad de superficie (fuerza por unidad de superficie, que presumiblemente es constante, por la distancia al eje) sobre el área de contacto. La dependencia de la velocidad significa que $\dot{\omega}$ dependerá de $\omega$ . Si la dependencia es sencilla, el resultado será una ecuación diferencial que puede resolverse fácilmente. Si es más complicada, habrá que emplear técnicas numéricas, ya que no habrá una fórmula sencilla.

Answer 2

Suponiendo que 1. su cuerpo recibió una velocidad inicial, no una fuerza (porque las fuerzas actúan en el tiempo). Lo estoy llamando: $$\dot\theta_0$$ 2. La fuerza de rozamiento se mantiene constante. 3. El disco está girando a lo largo de su eje de simetría y está lleno

Si un cuerpo está girando entonces seguirá girando (1ª ley de newton).

La fuerza constante está ralentizando la rotación del disco, pero para saber cuánto tiempo se necesitaría para cambiar la velocidad.

Hay que tener en cuenta el momento de inercia. El momento de inercia suele ser una matriz y depende de las direcciones, pero como tienes un disco, es fácil encontrar su momento de inercia, suponiendo que el disco es uniforme (como en, no es un anillo, este asunto), su momento de inercia es

$$ I = \frac{m r^2}{2}$$

tomada de aquí, nota que importa en qué dirección gira .

A partir de este punto se puede tratar como un problema de caída libre en el que

$$ mg \rightarrow F $$ $$ m \rightarrow I $$ $$ v_0 \rightarrow \dot\theta_0 $$

Resolvemos como lo haríamos nosotros:

$$ v_0 - at^2 =0 $$ o $$ \dot\theta_0 - \frac{F}{I}t^2 =0 $$

así que $$ t =\sqrt{\frac{\dot\theta_0 I}{F}} $$

No estoy al 100% de que no se me haya escapado nada, así que por favor, comentadlo para que pueda arreglarlo antes de votar a la baja.