Transformada de Fourier de la inversa del operador de Laplace

Question

En $L^2(\mathbb{R}^n)$ considere el operador $(-\Delta+z)^{-1}$ , para $\Delta$ siendo el Laplaciano y $z\in\mathbb{C}$ , en $\mathcal{D}(\Delta^{-1})$ .

¿Cómo se puede demostrar que para $\phi\in \mathcal{D}(\Delta^{-1})$ lo siguiente es válido..:

$$(-\Delta+z)^{-1} \phi = \mathcal{F}^{-1}\{(\vert k\vert^2 + z)^{-1} \;\hat \phi(k)\},$$

donde $\mathcal{F}$ (abreviatura de $\hat{}$ ) denota la transformada de Fourier.

Estuve leyendo sobre el cálculo funcional del laplaciano utilizando la teoría espectral, pero no estoy seguro de cómo utilizarlo adecuadamente para su inversa Quizás esta no sea la herramienta adecuada para abordar este tema.

Answer 1

¿Qué significa decir $(-\Delta +zI)^{-1}f=g$ ? Si existe tal inversa, entonces esta ecuación es equivalente a $f=(-\Delta + zI)g$ que se puede transformar fácilmente en Fourier para obtener $(|s|^{2}+z)\hat{g}(s)=\hat{f}(s)$ o $\hat{g}(s)=\frac{\hat{f}(s)}{|s|^{2}+z}$ donde $s$ es un complejo $N$ -vector ( $N$ es la dimensión del espacio). Por lo tanto, funciona como se cree que debería, siempre que exista la inversa.