Encuentre la cantidad de números de 5 dígitos divisibles por 6 que se pueden formar usando $0,1,2,3,4,5$ si no se permite la repetición de dígitos.

Question

Encuentre el número de $5$ -número de dígitos divisible por $6$ que se puede formar con $0,1,2,3,4,5$ si no se permite la repetición de dígitos.

Empecé por considerar los siguientes casos:

1. Dígito de la unidad = $0$ Puedo llenar cuatro lugares con dígitos ${1,2,4,5}$ , por lo que el número de números de 5 dígitos $= P(4,4) = 24$
2. Dígito de la unidad = $2$ Puedo llenar cuatro lugares con dígitos ${0,1,3,4,5}$ tal que (a) $0$ no viene en primer lugar (b) cualquiera de $1,4$ se utiliza (c) $0,3,5$ se utilizan siempre. Tengo que llenar 4 lugares con $0,(1,4),3,5$ . Así, el número total de arreglos $=P(4,4)$ . Número de arreglos cuando $0$ viene como primer dígito $=P(3,3)$ . Número de arreglos de $(1,4) = 2$ . Por lo tanto, el número de números de 5 dígitos $=2(P(4,4)-P(3,3)) = 36$
3. Dígito de la unidad = $4$ Del mismo modo, la cantidad de números de 5 dígitos $= 36$

Por lo tanto, el número total de números de 5 dígitos $= 24+36+36 = 96$ .

Pero la respuesta correcta es $108$ . ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

El número tiene que ser divisible por $3$ por lo que la suma de los dígitos también debe tener esa propiedad. Como la suma de los seis dígitos es $15$ el dígito que falta tiene que ser $0$ o $3$ . (Este fue su error: pensó que el 1 o el 4 tenían que estar sin usar).

• Si el dígito que falta es $0$ entonces el dígito de las unidades puede elegirse de dos maneras y los cuatro dígitos restantes pueden disponerse en $4!=24$ formas. Esto lleva a $2\cdot24=48$ casos.
• Si el dígito que falta es $3$ y $0$ es el dígito de las unidades, entonces los cuatro dígitos restantes pueden disponerse en $4!=24$ formas,
• Si el dígito que falta es $3$ y $0$ no es el dígito de las unidades, entonces el dígito de las unidades se puede elegir de dos maneras. De los cuatro dígitos restantes, el dígito de los diez mil puede elegirse de tres maneras (para evitar un cero a la izquierda), y los tres dígitos restantes pueden disponerse en $3!=6$ formas. Esto lleva a $2\cdot3\cdot6=36$ casos.

El total es $48+24+36=108$ posibles casos.

Answer 2

Caso $1$ : $1,2,3,4,5$ se eligen. Para que el número sea divisible por $2$ El último dígito es $2$ o $4$ es decir, el último dígito puede seleccionarse de dos maneras y los demás dígitos pueden disponerse en $4!$ . Por lo tanto, el número de formas = $4! \cdot 2=48$ .

Caso $2$ : $0,1,2,4,5$ son elegidos. a) si el último dígito es $0$ Número de formas = $4!=24$

b) si la última cifra es $2$ : los demás dígitos pueden rellenarse (de izquierda a derecha): $3×3×2×1=18$ formas.

c) si la última cifra es $4$ : los demás dígitos pueden rellenarse (de izquierda a derecha): $3×3×2×1=18$ maneras. Por lo tanto, la respuesta $=48+24+18+18=108$ formas.

Así que la respuesta es $108$ .

Answer 3

La suma de los dígitos debe ser divisible por $3$ Así que, o bien $0$ o $3$ debe estar ausente (ya que $0+1+2+3+4+5=15$ es divisible por $3$ ).

Si $0$ está ausente, entonces tenemos una permutación de $12345$ donde el último dígito es $2$ o $4$ , dando $(2)(4!)=(2)(24)=48$ posibilidades.

Si $3$ está ausente, entonces tenemos una permutación de $01245$ donde el primer dígito no es $0$ y el último dígito es $0, 2,$ o $4$ . Estas permutaciones podrían contarse de la siguiente manera:

En primer lugar, consideremos el caso en el que el último dígito es $0$ . En este caso, los dígitos restantes deben formar una permutación de $1245$ , dando $4!=24$ posibilidades.

En segundo lugar, consideremos el caso en el que el último dígito es $2$ o $4$ . En este caso, los dígitos restantes deben formar una permutación de $0145$ (si el último dígito es $2$ ) o $0125$ (si el último dígito es $4$ ) donde el primer dígito no es $0$ . Esto da $(2)(4!-3!)=(2)(24-6)=(2)(18)=36$ posibilidades.

Por lo tanto, hay $48+24+36=108$ números posibles.