¿Cuál es la definición de una topología de producto?

Question

Soy nuevo en las matemáticas avanzadas y recientemente he empezado a leer un libro sobre topología. Me cuesta entender lo que dice este párrafo. Esto es lo que dice:

Dejemos que $E_i$ $(i=1,2,...,n)$ sea una familia finita de espacios topológicos y sea $E=\Pi E_i(i=1,2,...,n)$ sea la colección de secuencias $(x=x_1, x_2,...,n)$ donde $x_i \in E_i$ . Entre todas las topologías posibles en $E$ tomaremos sólo aquellas para las que cada una de las proyecciones $x \rightarrow x_i = f_i(\omega_i)$ es continua. Esta condición equivale a decir que para todo conjunto abierto $\omega_i \subset E_i$ el conjunto $f_i^{-1}(\omega_i)$ que es simplemente el producto

$\qquad\qquad\qquad\qquad E_1\ \times\ ... \times\ E_{i-1}\ \times\ \omega_i\ \times\ E_{i+1}\ \times\ ... \times\ E_n,$

debe estar abierto en $E$ .

Entiendo la definición de topología de producto dada por Wolfram MathWorld Pero la notación utilizada en esta definición me confunde en cierta medida. ¿Alguien puede explicar lo que dice esta definición?

Answer 1

El punto de la topología del producto es el siguiente. Dada una colección de espacios topológicos $\{(E_i, T_i)\}_{i \in I}$ (para algún conjunto de índices $I$ que puede ser finito, puede ser infinito) tenemos mapas naturales

$$ p_k : \mathbb{E} = \times_{i \in I} E_i \to E_k $$

para cada $k \in I$ , donde $\times_{i \in I} E_i$ es el producto cartesiano habitual de los conjuntos subyacentes $E_i$ . Es natural pedir que estas funciones sean continuas, por lo que cualquier topología que pongamos en $\mathbb{E}$ debe tener esa propiedad.

¿Qué se necesita para ello? Un mapa continuo es tal que $p_k^{-1}(U)$ debe ser abierto para cada conjunto abierto $U$ . En nuestro caso, tendríamos un requisito mínimo de que los conjuntos

$$ p_k^{-1}(U) = U \times \Big(\times_{i \in I, k \neq i} E_i\Big) $$

son abiertos. Por tanto, elijamos estos conjuntos como sub-base de nuestra topología. Es decir, la topología sobre $\mathbb{E}$ estará formado por estos conjuntos así como por todas las intersecciones finitas de los mismos. O, más explícitamente, consistirá en conjuntos de la forma

$$ \times_{i \in I} U_i $$

con $U_i$ abrir en $E_i$ y de tal manera que todos menos un número finito de $U_i$ son iguales a $E_i$ . Para los conjuntos finitos, por supuesto, se trata de conjuntos de la forma

$$ U_1 \times \cdots \times U_m $$

La cuestión entonces es que cualquier topología para la que los mapas $p_k$ son todos continuos serán más finos que esta topología, es decir, tendrán más conjuntos abiertos; es decir, esta es la topología más gruesa que asegura que todos estos mapas son continuos.

Forma abreviada: lo único que pedimos es que las proyecciones sean continuas.