Al analizar la gráfica de la función $$f(x) = \frac{6}{1+3\cdot(0.4)^x}$$ el libro de texto indica que tiene simetría alrededor del punto (1,2, 3). ¿Hay alguna manera de encontrar las coordenadas de este punto algebraicamente, sin trazar la gráfica o usar el cálculo para encontrar el punto de inflexión?
Gracias.
El valor de la función en $-\infty$ es $0$ y en $+\infty$ es $6$ ( asíntotas horizontales si uno es preciso). Ahora bien, si la gráfica tiene un centro de simetría, éste se encuentra en el punto de altura $\frac{6}{2}=3$ . Así que dejemos $x_0$ tal que $f(x_0) = 3$ . Esto equivale a $3 (0.4)^{x_0}=1$ .
Hay que comprobar que $f(x_0- h) + f(x_0+ h) = 2 f(x_0)$ . Esto equivale a $$\frac{6}{1 + 0.4^{-h}} + \frac{6}{1 + 0.4^h} = 6$$
o, con $0.4^h = t$ $$\frac{1}{1+1/t} + \frac{1}{1+t} = 1$$ lo cual es cierto.
Nota: $f$ es un función logística .
Es tan sencillo con el cálculo $$f(x)=\frac{a}{1+b c^x}$$ $$f'(x)=-\frac{a b c^x \log (c)}{\left(b c^x+1\right)^2}\qquad \text{and} \qquad f''(x)=\frac{a b c^x \log ^2(c) \left(b c^x-1\right)}{\left(1+b c^x\right)^3}$$
Así, el punto de inflexión está en $$x_*=-\frac{\log (b)}{\log (c)}\implies f(x_*)=\frac a 2$$
Este era el camino largo.
El camino más corto es buscar $x$ tal que $$\frac{a}{1+b c^x}=\frac a 2\implies 1+b c^x=2\implies b c^x=1\implies x=-\frac{\log (b)}{\log (c)}$$
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