Primera variación de una Funcional: Derivada de Frechet

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta.

(Primera Variación de una Función) Considera el espacio lineal normado $C^1[0, 1]$ con la norma

$$\| u \| = \max_{0\leq t \leq 1} |u(t)| + \max_{0\leq t \leq 1} |u'(t)| , \forall u \in C^1[0, 1].$$

Considera la función $$J : C^1[0, 1] \rightarrow R, \ J(u) = \int_{0}^1 f(t, u(t), u'(t)) dt,$$ donde f es una función $C^1$. Muestra que la derivada de Frechet se puede escribir en la forma: $$J'(u)h=\int_{0}^1[f_u(t,u(t),u'(t))h(t) + f_{u'}(t,u(t),u'(t))h']dt $$

Pista: Utiliza la expansión en serie de Taylor para $f$: $$f(t, u(t) + h(t), u' (t) + h'(t)) = f(t,u,u') + f_u(t,c(t),u'(t))h(t) + f_u(t,u(t),d(t))h'(t)$$ donde $c(t)$ se encuentra entre $u(t)$ y $u(t)+h(t)$ y $d(t)$ se encuentra entre $u'(t)$ y $u'(t)+h'(t)$.

Esto es lo que he intentado. Tenemos $$J(u+h) = \int_{0}^1 f(t,u(t)+h(t),u'(t)+h'(t))dt$$ $$ = \int_{0}^1 [ f(t,u,u') + f_u(t,c(t),u'(t))h(t) + f_u(t,u(t),d(t))h'(t)]dt$$ $$ = J(u) + \int_{0}^1 [ f_u(t,c(t),u'(t))h(t) + f_u(t,u(t),d(t))h'(t)]dt $$ Ahora basta con demostrar que

$$ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ \| \int_{0}^1 [ f_u(t,c(t),u'(t))h(t) + f_u(t,u(t),d(t))h'(t)]dt - J'(u)h \| }{\|h\|}=0$$

Sustituye $J'(u)h$ en la última ecuación y simplifica el LHS: $$ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ \| \int_{0}^1 [ f_u(t,c(t),u'(t))h(t) + f_u(t,u(t),d(t))h'(t)]dt - \int_{0}^1[f_u(t,u(t),u'(t))h(t) + f_{u'}(t,u(t),u'(t))h']dt \| }{\|h\|}$$

$$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ \| \int_{0}^1 [ \bigg( f_u(t,c(t),u'(t)) -f_u(t,u(t),u'(t))\bigg) h(t) + \bigg(f_u(t,u(t),d(t))-f_{u'}(t,u(t),u'(t))\bigg)h'(t)]dt }{\|h\|}$$

Usa la desigualdad triangular y el teorema del apriete:

$$\leq \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ \| \int_{0}^1 [ \bigg( f_u(t,c(t),u'(t)) -f_u(t,u(t),u'(t))\bigg) h(t)] dt \|}{\|h\|} + \frac{ \| \int_{0}^1 [ \bigg(f_u(t,u(t),d(t))-f_{u'}(t,u(t),u'(t))\bigg)h'(t)]dt }{\|h\|} $$

$$ \leq \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ \| h\|_\infty | \int_{0}^1 f_u(t,c(t),u'(t)) -f_u(t,u(t),u'(t) dt | }{\|h\|} + \frac{ \| h' \|_\infty | \int_{0}^1 f_u(t,u(t),d(t))-f_{u'}(t,u(t),u'(t) dt| }{\|h\|}$$

Dado que $\| h\| = \|h\|_\infty + \| h'\|_\infty$, tenemos $\| h\| \geq \|h\|_\infty $ y $\| h\| \geq \| h'\|_\infty$. Por lo tanto, $$ \leq \lim_{h\rightarrow 0} | \int_{0}^1 f_u(t,c(t),u'(t)) -f_u(t,u(t),u'(t) dt | + | \int_{0}^1 f_u(t,u(t),d(t))-f_{u'}(t,u(t),u'(t) dt | $$ (¡Debe haber un error tipográfico en la pregunta! $f_u(t,u(t),d(t))$ debería ser $f_{u'}(t,u(t),d(t))$). $$ \leq \lim_{h\rightarrow 0} |J_u(c) - J_u(u)| + | \int_{0}^1 f_{u'}(t,u(t),d(t))-f_{u'}(t,u(t),u'(t) dt |$$ A medida que $h$ tiende a 0, $c$ se acerca a $u$. Por lo tanto, $$ = 0 + | \int_{0}^1 f_{u'}(t,u(t),d(t))-f_{u'}(t,u(t),u'(t) dt |$$

Estoy atascado aquí.

PD. ¿Qué significa $f_{u'}(t,u(t),u'(t))$?

Answer 1

Pista: si ${\varphi} \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es diferenciable en el intervalo $\left(x , y\right)$, entonces la siguiente desigualdad se cumple por el teorema del valor medio

\begin{equation}\left|{\varphi} \left(y\right)-{\varphi} \left(x\right)-{{\varphi}'} \left(x\right) \left(y-x\right)\right| \leqslant \left|y-x\right| {\sup }_{z \in \left(x , y\right)} \left|{{\varphi}'} \left(z\right)-{{\varphi}'} \left(x\right)\right|\end{equation}

Aplica esto a

\begin{equation}{\varphi} \left({\theta}\right) = f \left(t , u \left(t\right)+{\theta} h \left(t\right) , {u'} \left(t\right)+{\theta} {h'} \left(t\right)\right) \qquad {\theta} \in \left[0 , 1\right]\end{equation}

luego utiliza el hecho de que $u \left(t\right) , h \left(t\right) , {u'} \left(t\right) , {h'} \left(t\right)$ se mantienen en un conjunto acotado de $\mathbb{R}$ y la continuidad uniforme de las derivadas parciales de $f$ en conjuntos acotados.

Observación: La continuidad uniforme de las derivadas parciales significa que cuando $B$ es un conjunto acotado de $\mathbb{R}$, existe una función ${\epsilon} \left(s\right)$ definida en ${\mathbb{R}}^{+}$ tal que ${\epsilon} \left(s\right) \mathop{\longrightarrow}\limits_{s \rightarrow {0}^{+}} 0$ y

\begin{equation}\left|{\partial }_{i} f \left(t , {u}_{1} , {v}_{1}\right)-{\partial }_{i} f \left(t , {u}_{2} , {v}_{2}\right)\right| \leqslant {\epsilon} \left(\left|{u}_{1}-{u}_{2}\right|+\left|{v}_{1}-{v}_{2}\right|\right)\end{equation}

siempre que $t \in \left[0 , 1\right]$, ${u}_{1} , {v}_{1} , {u}_{2} , {v}_{2} \in B$ y ${\partial }_{i} f$ sea ${f}_{u}$ o ${f}_{{u'}}$.