Equivalencia entre la ecuación matricial y la ecuación de Riccati

Question

En el contexto de la teoría de juegos/control óptimo me he encontrado con la ecuación $$M = Q + A^TM(I + (BB^T - \gamma^{-2} I)M)^{-1} A \tag{1}\label{eq1}$$ donde $\gamma \in \mathbb{R}$ y las matrices $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}, Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ están dadas, y $M \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es la variable. Quiero resolver esta ecuación.

Empíricamente, utilizando Matlab (el comando idare), parece que la solución de la ecuación algebraica de Riccati en tiempo discreto (DARE) $$ M = Q + A^T M A - A^T M\pmatrix{B & I} \bigg(\pmatrix{B^T \\ I}M \pmatrix{B & I} + \pmatrix{I & 0 \\ 0 & -\gamma^2 I } \bigg)^{-1} \pmatrix{B^T \\ I} MA \tag{2}\label{eq2}$$ de hecho es una solución de la ecuación \eqref {eq1}.

Para demostrar esto, mi primera idea fue mostrar que el lado derecho de la ecuación \eqref {eq1} de hecho es igual al lado derecho de la ecuación \eqref {eq2} para $\textit{any}$ matriz $M$ . Sin embargo, una rápida investigación empírica demostró que los dos lados derechos diferentes no coinciden para un $M$ .

¿Es posible derivar lo que mis datos empíricos sugieren, es decir, que la solución de \eqref {eq2} también es una solución de la ecuación \eqref {eq1}? ¿Existe un "marco estándar" que se pueda utilizar para poner la ecuación \eqref {eq1} en el formulario estándar DARE?

Edición: Al comparar los lados derechos de la ecuación \eqref {eq1} y \eqref {eq2} Utilicé una selección aleatoria de $M$ . Sin embargo, cuando elijo $M$ positivo definitivo los lados de la derecha parecen coincidir empíricamente. Utilizando este hecho podría ser capaz de demostrar la equivalencia entre las ecuaciones. Lo intentaré con este enfoque y volveré a hablar con vosotros.

Los mejores,

Daniel

Answer 1

Tanto la ecuación 1 como la 2 representan lo mismo. Estoy bastante seguro de que aplicando el lema de inversión de matrices de Woodbury, $$(A+UCV)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(C^{-1} + VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$$

la ecuación 1 puede expresarse como 2 ( https://en.wikipedia.org/wiki/Woodbury_matrix_identity )

A continuación, la ecuación de Riccati no funciona para cualquier aleatorio $M$ . Esta ecuación debe ser utilizada para encontrar una única, definida positiva $M$ que satisfaga esta ecuación. Aunque esto podría resolverse a mano para problemas de menor dimensión, yo recomendaría no hacerlo. En su lugar, podrías utilizar la variante recursiva: $$M_{k} = Q + A^TM_{k+1}A -A^TM_{k+1}\begin{bmatrix}B & I\end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix}B^T \\ I\end{bmatrix}M_{k+1}\begin{bmatrix}B & I\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}I & \\ & -\gamma^2I\end{bmatrix}\right)^{-1}\begin{bmatrix}B^T \\ I\end{bmatrix}M_{k+1}A$$ Con $M_h = Q$ . Itere esta ecuación hacia atrás en el tiempo hasta que $M_k$ converge (es decir, no cambia más) y se ha encontrado la solución de la ecuación de Riccati.