$ax+by=x^2+y^2\implies a=x$ y $b=y$

Question

Actualmente edito el plan de estudios de geometría de la escuela secundaria y me encontré con un error en uno de sus diagramas. Después de trabajar un poco, reduje su error a una suposición de que si $ax+by=x^2+y^2$ para $a,b,x,y>0$ entonces $a$ no es necesariamente igual a $x$ y $b$ no es necesariamente igual a $y$ . Sin embargo, después de analizar la gráfica correspondiente de esta ecuación (y utilizando algo de sentido común), estoy bastante seguro de que debemos tener $a=x$ y $b=y$ . ¿Alguien tiene alguna sugerencia sobre cómo podría mostrar esto algebraicamente? Gracias.

Answer 1

Un contraejemplo: $x=1, y=2, a=3, b=1$ .

Answer 2

De manera más general,

$$\begin{align*} x^2 +y^2 &= x^2 + txy + y^2 - txy\\ &= (x+ty)x + (y-tx)y \end{align*}$$

Al variar $t\ne 0$ dentro del límite que $x+ty > 0$ y $y-tx>0$ es fácil generar contraejemplos.

Answer 3

No es cierto. $ax+by=c$ es la ecuación de una recta. Al mismo tiempo $x^2+y^2=c$ es la ecuación de una circunferencia, centrada en el origen. De la información, es sólo una cuarta parte ( $x,y>0$ ). Lo que tienes es una intersección de una línea aleatoria con este cuarto de círculo. A falta de más información, puedo obtener un conjunto de números que satisfagan esta ecuación, sin $x=a$ o $b=y$

Answer 4

Perdonad todos, me he dado cuenta de que he pasado por alto una tontería. Aquí es (básicamente) lo que el problema parecía:

Hay un triángulo rectángulo grande y dos triángulos rectángulos más pequeños cuyos catetos se cruzan con la hipotenusa del triángulo grande en su punto medio. Quería crear condiciones en $a,b,x,y$ para que su cifra fuera exacta.

Originalmente, el plan de estudios tenía $a=7,b=22,x=17,$ y $y=6$ . Determiné que esto era imposible porque $hyp$ (triángulo pequeño)+ $hyp$ (otro triángulo pequeño) $\not=$ $hyp$ (gran triángulo). En otras palabras, $\sqrt{7^2+22^2}+\sqrt{17^2+6^2}\not=\sqrt{(7+17)^2+(22+6)^2}$ .

Fue entonces cuando decidí poner $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(a+x)^2+(b+y)^2}$ lo que dio como resultado $ax+by=x^2+y^2.$ Ahora puedes ver por qué hice mi pregunta original.

Sin embargo, ahora puedo ver que los triángulos pequeños son ambos similares al triángulo grande, lo que implica que los triángulos pequeños son similares entre sí, por lo que sus medidas de los ángulos son las mismas. Entonces estos triángulos deben ser congruentes porque también tienen un lado de igual longitud. Por lo tanto, debe ser que $a=x$ y $b=y$ .

No obstante, gracias a los que habéis respondido a mi pregunta original.