¿Por qué existen funcitons no integrables?

Question

No integrable me refiero funciones cuya primitiva no puede ser expresado en términos de funciones elementales.

Recientemente aprendí que cualquier función diferenciable puede ser ampliado mediante la expansión de Taylor, que esencialmente proporciona una representación polinomial. Y funcitons polinomios son muy fáciles de integrar. Entonces, ¿por qué es que hay funciones cuya primitiva no puede ser expresado en términos de funciones elementales?

Answer 1

Dos razones:

1) No todos los integrable funciones son diferenciables, no todas las funciones diferenciables son lisas (es decir, tienen derivadas de todos los órdenes, lo cual es necesario para la serie de existir), y no todas las funciones lisas convergen a su serie de Taylor. El ejemplo canónico para el segundo es $f(x) = e^{-1/x^2}$ ( $f(0) = 0$ ), que es suave, con $f^{(n)}(0) = 0$ todos los $n$ y por lo tanto tiene un desarrollo en serie de Taylor alrededor de $0$ eso es exactamente $0$.

2) Una arbitraria serie de Taylor no es un polinomio, o incluso de una escuela primaria de la función. Tome $\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x dt\; e^{-t^2}$, por ejemplo, o $\Gamma(x) = \int_0^\infty dt\;t^{x-1}e^{-t}$.

Answer 2

Porque es una expansión de Taylor de una función en general no finito y una suma infinita de polinomios pueden no siempre ser expresados como una combinación finita de funciones elementales.

Answer 3

¿Por qué existen funciones no integrables?

Mírelo esta manera: la inversa de una función elemental no es siempre elemental, así que ¿por qué su anti-derivado ser tal? Por lo tanto, si usted acepta el hecho de que $f(x)=x+\sin x$ es elemental, pero no es $f^{-1}(x)$, usted también debe aceptar el hecho de que, a pesar de que $g(x)=e^{-x^2}$ es elemental, su primitiva no es.

Answer 4

Esta es una especie de pedante respuesta, pero no es el algoritmo de Risch para encontrar primaria anti-derivados de funciones elementales, o la determinación de que ningún primaria anti-derivada existe. Así que si usted estudia el algoritmo de Risch y su prueba de la corrección de cerca, usted debería ser capaz de empezar a ver qué características garantía de que un elemental función tendrá primaria anti-derivado de la fórmula, o que no. Y, en particular, que es posible que ninguna de primaria anti-derivado de la fórmula que existe para ciertas funciones elementales.

Answer 5

La definición de expansión de Taylor se puede definir libremente como "La mejor aproximación polinómica de $f(x)$ cerca de $a$", que significa que la aproximación consigue peor y peor como el barrio de $a$ consigue más grande. Por lo tanto, la expansión de Taylor no es una aproximación suficiente con todos los valores de $x$. Más que eso, a veces la expansión de Taylor de una función es infinita, y la suma infinita de polinomios no es una función elemental.