Formación de un número de 7 dígitos utilizando 3 dígitos con una condición dada

Question

El número de números de 7 cifras diferentes que pueden escribirse utilizando sólo tres dígitos $1,2,3$ con la condición de que aparezca el dígito 2 exactamente dos veces en cada número es?

Mi intento:
Número total de dígitos posibles = $3^7$

A continuación, restaría todos los dígitos sin o con una sola ocurrencia de 2.

El número de dígitos en los que no hay 2 es $2^7$

El número de dígitos en los que 2 aparece una vez es $\binom712^6$

Así que los números desfavorables totales son $2^7+\binom712^6$

Así que los números favorables totales son $3^7 - 2^7-\binom712^6$

Sin embargo, cuando se resuelve, resulta ser una respuesta errónea.

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Has olvidado restar los números en los que aparece el 2 tres o más veces. Este es un enfoque correcto:

• Selecciona las ubicaciones de los 2s: $\binom72=21$ formas
• Llena las cinco ranuras restantes con 1s y 3s: $2^5=32$ formas

Por lo tanto, hay $21\cdot32=672$ números admisibles.

Answer 2

El número de 7 dígitos tiene exactamente dos cifras $2$ .

Digamos que el número es $\overline{22cdefg}$ ; $\overline{2b2defg}$ ; $\overline{2bc2efg}$ ;...

El número de casos en los que podemos poner exactamente dos dígitos (de $7$ dígitos) son $2$ es: $6+5+4+3+2+1=21$ casos.

Para cada caso, el resto $5$ Los dígitos pueden ser $1$ o $3$ , por lo que el número de formas para cada caso es: $2^5=32$ formas.

El número de números favorables es: $21 \times 32 =672$ números.